Определение распределенной нагрузки. Равномерно распределенная нагрузка

Распределение напряжений в случае плоской задачи

Этот случай соответствует напряженному состоянию под стеновыми фундаментами, подпорными стенками, насыпями и другими сооружениями, длина которых значительно превосходит их поперечные размеры:

Где l – длина фундамента; b – ширина фундамента. При этом распределение напряжений под любой частью сооружения, выделенной двумя параллельными сечениями, перпендикулярными оси сооружения, характеризует напряженное состояние под всем сооружением и не зависит от координат, перпендикулярных к направлению загруженной плоскости.

Рассмотрим действие погонной нагрузки в виде непрерывного ряда сосредоточенных сил Р , каждая из которых приходится на единицу длины. В этом случае составляющие напряжений в любой точке М с координатами R и b могут быть найдены по аналогии с пространственной задачей:

Если соотношения геометрических характеристик рассматриваемых точек z , y , b представить в виде коэффициентов влияния K , то формулы для напряжений можно записать так:

Значения коэффициентов влияния K z , K y , K yz табулированы в зависимости от относительных координат z/b , y/b (табл. II.3 приложения II).

Важное свойство плоской задачи в том, что составляющие напряжений t и s y в рассматриваемой плоскости z 0y не зависят от коэффициента поперечного расширения n 0 , как в случае пространственной задачи.

Задача может быть решена и для случая погонной нагрузки, любым образом распределенной по полосе шириной b . При этом элементарную нагрузку dP рассматривают как сосредоточенную силу (рис.3.15).

Рис.3.15. Произвольное распределение

нагрузки по ширине полосы b

Если нагрузка распространяется от точки A (b=b 2) до точки B (b=b 1), то, суммируя напряжения от ее отдельных элементов, получим выражения для напряжений в любой точке массива от действия сплошной полосообразной нагрузки.

При равномерно распределенной нагрузке интегрируют вышеприведенные выражения при P y = P = const. В этом случае главными направлениями, т.е. направлениями, в которых действуют наибольшие и наименьшие нормальные напряжения, будут направления, расположенные по биссектрисе "углов видимости" и им перпендикулярные (рис.3.16). Углом видимости a называют угол, образованный прямыми, соединяющими рассматриваемую точку М с краями полосной нагрузки.

Значения главных напряжений получим из выражений (3.27), полагая в них b=0:

Эти формулы часто используют при оценке напряженного состояния (особенно предельного) в основаниях сооружений.

На величинах главных напряжений как полуосях можно построить эллипсы напряжений, наглядно характеризующие напряженное состояние грунта под равномерно распределенной нагрузкой, приложенной по полосе. Распределение (расположение) эллипсов напряжений при действии местной равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи показано на рис.3.17.

Рис.3.17. Эллипсы напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

По формулам (3.28) можно определить s z , s y и t yz во всех точках сечения, перпендикулярного продольной оси нагрузки. Если соединить точки с одинаковыми значениями каждой из этих величин, то получим линии равных напряжений. На рис.3.18 изображены линии одинаковых вертикальных напряжений s z , называемые изобарами, горизонтальных напряжений s y , называемые распорами, и касательных напряжений t zx , называемые сдвигами.

Эти кривые были построены Д.Е.Польшиным методами теории упругости для нагрузки, равномерно распределенной по полосе шириной b , бесконечно простирающейся в направлении, перпендикулярном чертежу. Кривые показывают, что влияние сжимающих напряжений s z интенсивностью 0,1 внешней нагрузки Р сказывается на глубине около 6b , тогда как горизонтальные напряжения s y и касательные t распространяются при той же интенсивности 0,1Р на значительно меньшую глубину (1,5 - 2,0)b . Аналогичные очертания будут иметь криволинейные поверхности равных напряжений для случая пространственной задачи.

Рис.3.18. Линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве:

а – для s z (изобары); б – для s y (распор); в – для t (сдвига)

Влияние ширины загруженной полосы сказывается на глубине распространения напряжений. Например, для фундамента шириной 1 м, передающего на основание нагрузку интенсивностью Р , напряжение 0,1Р будет на глубине 6 м от подошвы, а для фундамента шириной 2 м, при той же интенсивности нагрузки, – на глубине 12 м (рис.3.19). При наличии в подстилающих слоях более слабых грунтов это может существенно повлиять на деформацию сооружения.

где a и b / – соответственно углы видимости и наклона линии к вертикали (рис.3.21).

Рис.3.21. Эпюры распределения сжимающих напряжений по вертикальным сечениям массива грунта при действии треугольной нагрузки

В таблице II.4 приложения II приведены зависимости коэффициента К | z в зависимости от z /b и y /b (рис.3.21) для вычисления s z по формуле:

s z = К | z × Р .

При решении практических задач далеко не всегда можно считать, что действующая на тело сила приложена в одной точке. Часто силы бывают приложены на целом участке тела (например снеговая нагрузка, ветровая и т.д.). Такая нагрузка называется распределенной. Равномерно распределенная нагрузка характеризуется интенсивностью q (рис.1.29). Интенсивность - это суммарная нагрузка, приходящаяся на единицу длины конструкции.

Решение. Воспользуемся тем же планом, который применялся для решение задач на сходящуюся систему сил. Объектом равновесия является вся балка, нагрузка на которую показана на чертеже. Отбросим связи - шарниры А и В. Реакцию неподвижного шарнира А разложим на две составляющих -

и

, а реакция подвижного шарнира В направлена перпендикулярно опорной плоскости. Таким образом, на балку действует плоская произвольная система сил, для которой можно составить три уравнения равновесия. Выберем оси координат и составим эти уравнения. Уравнения проекций:

1. F kx = 0; R ax -Fcos(60) = 0;

2. F ky = 0; R ay + R B - Fcos(30) = 0;

(пара в уравнение проекций не входит, так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю).

Уравнение моментов составляем относительно точки А, поскольку в ней пересекаются две неизвестных силы. При нахождении момента пары относительно точки А помним, что сумма моментов сил пары относительно любой точки равен моменту пары, а знак момента будет положительным, поскольку пара стремится повернуть тело против часовой стрелки. Для нахождения момента силы удобно разложить ее на вертикальную и горизонтальную составляющие:

F x =Fcos(60), F y =Fcos(30)

и воспользоваться теоремой Вариньона, причем следует учесть, что момент от силы относительно точки А равен нулю, поскольку ее линия действия проходит через эту точку. Тогда уравнение моментов примет вид:

3.

; R в. 3-F B cos(30)2 + M = 0.

Решая это уравнение получим:

Из уравнения (2) находим:

R ay = Fcos(30) - R B = 20,867 - 4=-2,67 кН,

а из уравнения (1) R ax = Fcos(60) = 20,5 = 1 кН.

Решение. Заменим равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей Q = 3q = 310 = 30 кН. Она будет приложена в середине пролета, то есть на расстоянии АС = 1,5 м. Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем связь - жесткую заделку, а вместо нее прикладываем две составляющие реакции R ах и R ау и реактивный момент M а. На балку будет действовать плоская произвольная система сил, для которой можно составить три уравнения равновесия, из которых можно найти искомые неизвестные.

F кх = 0; R ах = 0;

F ку = 0; R ау - Q = 0; R ау = Q = 30 кН;

M а (F к) = 0; M а - 1,5Q = 0; M а = 1,5Q = 1,530 = 45 кHм.