ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ОБЩЕГО ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНОГО МЕТОДА
Аннотация. Приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных разработках вопросов детерминированного моделирования в общем логико-вероятностном методе (ОЛВМ), теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ).
Ключевые слова . Общий логико-вероятностный метод, схема функциональной целостности, вероятностные модели, детерминированное моделирование.
Введение. Исторически сложилось так, что все логико-вероятностные методы разрабатывались и использовались в целях моделирования и расчета вероятностных показателей различных свойств системных объектов (надежность, стойкость, живучесть, устойчивость, безопасность, технический риск, ожидаемый ущерб, эффективность). Однако в последние годы, наряду с дальнейшим расширением круга задач вероятностного анализа, все более востребованными становятся вопросы разработки методов и программных средств детерминированного моделирования структурно сложных систем различных видов, классов и назначения. В настоящем сообщении приведены результаты систематизации данных о существующих и новых научных и технологических разработках вопросов детерминированного моделирования в рамках общего логико-вероятностного метода (ОЛВМ) , теории и технологии автоматизированного структурно-логического моделирования (АСМ) .
1. Детерминированные методы аналитического ОЛВМ.
Следует отметить, что все логико-вероятностные методы системного анализа имеют четко выраженные детерминированные составляющие на всех основных этапах моделирования. На этапе постановки задач к детерминированным относятся все виды графических средств и методики построения структурных моделей исследуемых свойств – деревья отказов, деревья событий, блок-схемы, графы связности, схемы функциональной целостности и др. На следующих этапах логико-вероятностного моделирования детерминированными являются методы, алгоритмы и программы построения на основе заданной структурной схемы логических и вероятностных (точных или приближенных) математических моделей исследуемых свойств системы. На завершающем этапе ОЛВМ детерминированными выступают методы и процедуры вычислений вероятностных показателей свойств систем, на основе построенных точных или приближенных аналитических вероятностных функциях.
В рамках существующих отечественных и зарубежных типовых монотонных логико-вероятностных методов системного анализа были разработаны и успешно применяются различные точные и приближенные средства (методы, алгоритмы и программы) построения на основе деревьев отказов, блок-схем или графов связности детерминированных логических функций работоспособности систем (ФРС) и многочленов вероятностных функций (ВФ).
В ОЛВМ эти виды аналитических моделей строятся на основе логически универсального графического аппарата структурных схем функциональной целостности (СФЦ) . Детерминированные ФРС и ВФ определяются в ОЛВМ для всех видов монотонных и немонотонных моделей исследуемых свойств систем большой размерности и высокой структурной сложности . Для построения логических ФРС в ОЛВМ был разработан универсальный графоаналитический метод (УГМ) , а для построения многочленов ВФ – комбинированный метод . Эти методы доведены до программной реализации и используются в промышленных образцах программных комплексов автоматизированного структурно-логического моделирования систем .
Для иллюстрации детерминированного аналитического ОЛВМ рассматривается простой тестовый пример анализа типовой мостиковой системы . В левой части рис.1 изображена СФЦ мостиковой системы, введенная в программный комплекс (ПК) АСМ 2001, и соответствующая ей полная система логических уравнений. В примере решены три детерминированные задачи – построения логической ФРС, построения многочлена ВФ и аналитического расчета вероятности реализации критерия частичного отказа (частичной работоспособности) мостиковой системы (выходной элемент 3 выполнил, а выходной элемент 4 не выполнил свою функцию).
Рис.1 Тестовый пример применения детерминированного аналитического ОЛВМ
В правой части рис.1 приведены результаты применения
УГМ для получения логической ФРС и комбинированного метода для построения
многочлена ВФ. Аналитический расчет вероятности частичной работоспособности
мостиковой системы выполнен
для случая, когда вероятности всех элементарных событий равны 
.
В настоящее время продолжаются работы по дальнейшему совершенствованию методов детерминированного аналитического ОЛВМ. Вместе с тем, в последние годы произошло становление и развитие ряда новых специальных направлений детерминированного ОЛВМ анализа систем.
2. Детерминированные методы статистического ОЛВМ.
В статистическом логико-вероятностном моделировании детерминированными являются средства построения имитационных моделей исследуемых свойств структурно-сложных систем. На основе сформированных имитационных моделей методами статистических испытаний определяются количественные оценки вероятностных показателей исследуемых свойств системы. Первый логико-статистический метод (ЛСМ), разработанный И.А.Рябининым , в качестве имитационной модели использует логическую ФРС исследуемой системы. В ОЛВМ и ПК АСМ реализован другой – итерационный логико-статистический метод (ИЛСМ), разработанный Алексеевым А.О . ИЛСМ в качестве детерминированной имитационной модели использует непосредственно СФЦ исследуемой системы, которая представляется в форме монотонной или немонотонной системы логических уравнений. Это позволяет в статистическом ОЛВМ вообще не выполнять построения детерминированных аналитических моделей (ни ФРС, ни ВФ).
На рис.2 приведено окно автоматизированного моделирования ПК АСМ 2001 с результатами расчетов разными способами вероятностных показателей частичной работоспособности рассмотренной выше мостиковой системы (см. рис.1).
Рис.2 Результаты применения детерминированного метода статистического ОЛВМ
Из рис.2 следует, что с помощью детерминированного ОЛВМ автоматического формирования имитационной модели и выполнения на ее основе статистических расчетов вероятности частичной работоспособности мостиковой системы получен результат
Этот результат статистического ОЛВМ вполне согласуется с полученным
Задание
Вычислить вероятность безотказной работы P c системы со структурой и параметрами, заданными в п.6.4, логико-вероятностным методом. Сравнить полученный результат с граничными оценками, полученными в п.6.
Элементы теории
Пусть x=(x 1 ,..., x n) - n-мериый вектор, характеризующий состояние системы, где х i - булева переменная: х i = 1 , если i -я подсистема работоспособна, и,x i =0 в противном случае.
Введя соответствующий критерий отказадля системы, можно задать булеву функцию, описывающую состояние работоспособности илиотказа системы:
R(x)=1,если система работоспособна. R(x)=0если система отказывает.
Если система находится в состоянии отказа. если система работоспособна.
Здесь R(х) - функция работоспособности, - функция отказа в состоянии х.
Перейдем к вероятностным функциям:
Здесь Р - вероятность безотказной работы системы и Q - вероятность отказа системы, определенные для случая, когда х i соответствует работоспособному состоянию i -го элемента (подсистемы). Р и Q здесь определены для того же момента времени, что и р (х i) и q (х i) - вероятности безотказной работы и отказа элементов.
Структура системы называется монотонной, если для функции R(х ) выполняются следующие условия:
а) R(1)= 1 , где 1 =(1 ,...,1);
б) R(0) = 0,где0 = (0,...,0);
в) R (х) ≥R(у) , если х ≥у,
где условие (в) понимается как совокупность п условий х i ≥у i .
Для оценки надежности таких систем применяются метод минимальных путей и минимальных сечений, логико-всроятностнчй метод и другие.
К монотонным структурам относятся последовательно-параллельные и параллельно-последовательные структуры, а также несводимые к ним, такие, например, как "мостиковые".
Пример решения
Применение логико-вероятностного метода, позволяющего получить точное значение вероятности безотказной работы, рассмотрим на примере мостиковой структуры, представленной на рис. 6.1.
Функцию R (х) представим в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) множеством минимальных путей (см. п.6.2)
R(х) = x 1 х 4 V х 1 x 3 x 5 V х 2 х 5 V х 2 x 3 х 4 ,
где х i - булева переменная, определяющая состояние работоспособностьi-го элемента. Матричная форма булевой функции R(х) представленана рис 7.1.
Для вычисления Р с необходимоR(х) представить в ортогональной форме R орт , т.е. в виде множества непересекающихся интервалов.
И соответствии с матрицей рис. 7.1 имеем:
Для вычисления достаточно в (7.1) х i заменить на р i , на 1 -p i , конъюнкцию - на произведение и дизъюнкцию - на сумму. Проделав это, получим:
Пусть p i =p =0,8 тогда,
Сравнение с результатом, полученным в п. 6.3. дает:
0,9069<0,9611<0,9692
Библиографический список
1. Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики. – М.:Сов.радио, 1975. – 472 с.
2. Иыуду К.А. Надежность, контроль и диагностика вычислительных машин и систем. – М.:Высш.шк., 1989. – 216 с.
3. Надежность технических систем: Справочник / Ю.К. Беляев, В.А. Богатырев, и др.; Под ред. И.А. Ушакова. – М.: Радио и связи, 1985. – 608 с.
4. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем. – 4-е изд. – М.: Энергоатом-издат, 1986. – 480 с.
5. Каган Б.М., Мкртумян И.Б. Основы эксплуатации ЭВМ. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 432 с.
Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .
Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).
Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y )= 1.
Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:
1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:
где i
– принадлежит множеству номеров , соответствующих данному
l
-му пути.
Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.
2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:
где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.
Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.
Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).
Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.
1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.
;
2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО
;
Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.
Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:
;
функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:
При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):
Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.
Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.
Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.
Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .
Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале
Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы
где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.
Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.
1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .
2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?
3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?
4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?
5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.
6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.
7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?
8. Что называется функцией работоспособности?
9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.
10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Тема: Расчет надежности восстанавливаемых систем (метод дифференциальных уравнений)
1. Общие методы расчета надежности восстанавливаемых систем.
2. Построение графа возможных состояний системы для оценки надежности восстанавливаемых систем.
3. Метод систем дифференциальных уравнений (СДУ), правило Колмогорова для составления СДУ
4. Нормировочные и начальные условия для решения СДУ.
Ключевые слова
Восстанавливаемая система, количественные характеристики надежности, граф состояний, работоспособное состояние, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, вероятность безотказной работы, интенсивность восстановления, интенсивность отказа нормировочные условия, начальные условия, параметры надежности, нерезервированная система.
Основной задачей расчета надежности проектируемых ИС является построение математических моделей адекватных вероятностным процессам их функционирования. Эти модели позволяют оценить степень удовлетворения требований по надежности к проектируемым или эксплуатируемым системам.
Вид математической модели определяет возможность получения расчетных формул. Для проведения расчета надежности восстанавливаемых резервированных и нерезервированных систем используются: метод интегральных уравнений, метод дифференциальных уравнений, метод переходных интенсивностей, метод оценки надежности по графу возможных состояний и др. .
Метод интегральных уравнений . Метод интегральных уравнений является наиболее общим, его можно применять при расчете надежности любых (восстанавливаемых и невосстанавливаемых) систем при любых распределениях ВБР и времени восстановления.
В этом случае для определения показателей надежности системы составляют и решают интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, связывающие характеристики распределения ВБР, а для восстанавливаемых систем – и время восстановления элементов.
В ходе составления интегральных уравнений обычно выделяют один или несколько бесконечно малых интервалов времени, для которых рассматривают сложные события, проявляющие при совместном действии нескольких факторов.
В общем случае решения находят численными методами с помощью компьютера. Метод интегральных уравнений не получил широкого распространения из-за трудности решения .
Метод дифференциальных уравнений . Метод применяется для оценки надежности восстанавливаемых объектов и основан на допущении о показательных распределениях времени между отказами (наработки) и времени восстановления. При этом параметр потока отказов w = λ = 1/t cp . и интенсивность восстановления µ = 1/t в , где t cp . – среднее время безотказной работы, t в – среднее время восстановления.
Для применения метода необходимо иметь математическую модель для множества возможных состояний системы S = {S 1 , S 2 ,…, S n }, в которых она может находиться при отказах и восстановлениях системы. Время от времени система S скачком переходит из одного состояния в другое под действием отказов и восстановлений ее отдельных элементов.
При анализе поведения системы во времени в процессе износа удобно пользоваться графом состояний. Граф состояний – это направленный граф, где кружками или прямоугольниками изображают возможные состояния системы. Он содержит столько вершин, сколько различных состояний возможно у объекта или системы. Ребра графа отражают возможные переходы из некоторого состояния во все остальные с параметрами интенсивностей отказов и восстановлений (около стрелок показаны интенсивности переходов).
Каждой комбинации отказовых и работоспособных состояний подсистем соответствует одно состояние системы. Число состояний системы n = 2 k , где k – количество подсистем (элементов).
Связь между вероятностями нахождения системы во всех его возможных состояниях выражается системой дифференциальных уравнений Колмогорова (уравнений первого порядка).
Структура уравнений Колмогорова построена по следующим правилам: в левой части каждого уравнения записывается производная вероятности нахождения объекта в рассматриваемом состоянии (вершине графа), а правая часть содержит столько членов, сколько ребер графа состояний связано с этой вершиной. Если ребро направлено из данной вершины, соответствующий член имеет знак минус, если в данную вершину – знак плюс. Каждый член равен произведению параметра интенсивности отказа (восстановления), связанного с данным ребром, на вероятность нахождения в той вершине графа, из которой исходит ребро.
Система уравнений Колмогорова включает столько уравнений, сколько вершин в графе состояний объекта.
Система дифференциальных уравнений дополняется нормировочным условием:
где P j (t j -м состоянии;
n – число возможных состояний системы.
Решение системы уравнений при конкретных условиях дает значение искомых вероятностей P j (t ).
Все множество возможных состояний системы разбивается на две части: подмножество состояний n 1 , в которых система работоспособна, и подмножество состояний n 2 , в которых система неработоспособна.
Функция готовности системы:
К
г 
,
где P j (t ) – вероятность нахождения системы в j работоспособном состоянии;
n 1 – число состояний в которых система работоспособна.
Когда необходимо вычислить коэффициент готовности системы или коэффициент простоя (перерывы в работе системы допустимы), рассматривают установившийся режим эксплуатации при t→∞ . При этом все производные и система дифференциальных уравнений переходят в систему алгебраических уравнений, которые легко решаются.
Пример графа состояний нерезервированной восстанавливаемой системы с n – элементами приведен на рис. 1.
Рис. 1. Граф состояний восстанавливаемой системы (штриховкой отмечены неработоспособные состояния)
Рассмотрим возможные состояния в которых может находиться система. Здесь возможны следующие состояния:
S 0 – все элементы работоспособны;
S 1 – первый элемент неработоспособен остальные работоспособны;
S 2 – второй элемент неработоспособен остальные работоспособны;
S n – n -й элемент неработоспособен остальные работоспособны.
Вероятность одновременного появления двух неработоспособных элементов пренебрежимо мала. Символами λ 1 , λ 2 ,…, λ n обозначены интенсивности отказов, µ 1 , µ 2 ,…, µ n интенсивности восстановления соответствующих элементов;
По графу состояний (рис. 1) составляют систему дифференциальных уравнений (уравнение для состояния S 0 опускаем из-за громоздкости):
С нормировочным условием: .
Начальные условия:
При установившемся режиме эксплуатации (при t →∞) имеем:
Решив полученную систему алгебраических уравнений с учетом нормировочного условия, находим показатели надежности.
При решении системы уравнений можно использовать преобразование Лапласа для вероятностей состояний или численные методы.
Контрольные вопросы и задания
1. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?
2. Как определяются состояния элементов и устройств ИС?
3. Как определить области работоспособных состояний системы?
4. Почему метод дифференциальных уравнений получил широкое распространение при оценке надежности восстанавливаемых систем?
5. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?
6. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?
7. Каким условием должно быть дополнено система дифференциальных уравнений (СДУ) для более эффективного решения.
8. Запишите условия работоспособности системы, состоящий из трех элементов.
9. Чему равно число состояний устройства состоящего из четырех элементов?
10. Какое правило используется при составлении СДУ?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Тема: Марковские модели для оценки надежности резервированных восстанавливаемых информационных систем
1. Понятие Марковского свойства, определение состояния системы.
2. Методика и алгоритм построения Марковской модели.
3. Расчетные формулы для расчета показатели надежности ТС
4. Матрица интенсивностей переходов для оценки показателей надежности резервированных восстанавливаемых ИС.
Ключевые слова
Марковская модель, состояние системы, работоспособность, матрица интенсивностей переходов, граф состояний, восстанавливаемая система, резервирование, последовательная схема, постоянный резерв, система дифференциальных уравнений, правило Колмогорова, схема расчета надежности, приближенный метод, алгоритмы построения СДУ, нормировочные условия, начальные условия, вероятность безотказной работы, интенсивность отказа.
Функционирование ИС и их составных частей можно представить как совокупность процессов перехода из одного состояния в другое под воздействием каких либо причин.
С точки зрения надежности восстанавливаемых ИС их состояние в каждый момент времени характеризуется тем, какие из элементов работоспособны, а какие восстанавливаются.
Если каждому возможному множеству работоспособных (неработоспособных) элементов поставить в соответствие множество состояний объекта, то отказы и восстановления элементов будут отображаться переходом объекта из одного состояния в другое:
Пусть, к примеру, объект состоит из двух элементов. Тогда он может находиться в одном из четырех состояний: n = 2 k = 2 2 = 4.
S 1 – оба элемента работоспособны;
S 2 – неработоспособен только первый элемент;
S 3 – неработоспособен только второй элемент;
S 4 – неработоспособны оба элемента.
Множество возможных состояний объекта: S = {S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Полное множество состояний исследуемой системы может быть дискретным, либо непрерывным (непрерывно заполнять один или несколько интервалов числовой оси).
В дальнейшем будем рассматривать системы с дискретным пространством состояний. Последовательность состояний такой системы и сам процесс переходов из одного состояния в другое называется цепью.
В зависимости от времени пребывания системы в каждом состоянии различают процессы с непрерывным временем и процессы с дискретным временем. В процессах с непрерывным временем переход системы из одного состояния в другое осуществляется в любой момент времени. Во втором случае время пребывания системы в каждом состоянии – фиксировано так, что моменты переходов размещаются на временной оси через равные промежутки.
В настоящее время наиболее изучены цепи, обладающие марковским свойством. Вероятности переходов обозначаются символами P ij (t ), а процесс P ij переходов называется Марковской цепью или цепью Маркова.
Марковское свойство связанно с отсутствием последействия. Это означает, что поведение системы в будущем зависит только от ее состояния в данный момент времени, и не зависит от того каким образом она пришла в это состояние.
Марковские процессы позволяют описать последовательности отказов-восстановлений в системах, описываемых при помощи графа состояний.
Наиболее часто для расчета надежности применяется метод марковских цепей с непрерывным временем, основанный на системе дифференциальных уравнений, которая в матричной форме может быть записана как:
,
где P (t ) = P 0 – начальные условия;
,
а Λ – матрица интенсивности переходов (матрица коэффициента при вероятностях состояний):
где λ ij – интенсивности перехода системы из i-го состояния в j-е;
P j – вероятность того, что система находится в j-м состоянии.
При оценке надежности сложных резервированных и восстанавливаемых систем метод марковских цепей приводит к сложным решениям из-за большого числа состояний. В случае однотипных подсистем работающих в одинаковых условиях, для уменьшения числа состояний используют метод укрупнения. Состояния с одинаковым количеством подсистем объединяются. Тогда размерность уравнений уменьшается .
Последовательность методики оценки надежности резервированных восстанавливаемых систем с использованием метода марковских цепей следующая:
1. Анализируется состав устройства и составляется структурная схема надежности. По схеме строится граф, в котором учитывается все возможные состояния;
2. Все вершины графа в результате анализа структурной схемы разделяются на два подмножества: вершины соответствующие работоспособному состоянию системы и вершины соответствующие неработоспособному состоянию системы.
3. С помощью графа состояний составляется система дифференциальных уравнений (используется правило Колмогорова);
4. Выбираются начальные условия решения задачи;
5. Определяются вероятности нахождения системы в работоспособном состоянии в произвольный момент времени;
6. Определяется вероятность безотказной работы системы;
7. В случае необходимости определяются и другие показатели.
Контрольные вопросы и задания
1. Что подразумевается под цепью Маркова?
2. Приведите алгоритм оценки надежности ИС с использованием Марковских моделей.
3. Как составляется дифференциальные уравнения для определения параметров надежности ИС?
4. Значение каких показателей надежности можно получить используя Марковский метод?
5. Перечислите основные этапы построения Марковской модели надежности сложной системы.
6. Что является необходимым условием при решении систем дифференциальных уравнений?
7. Как определяются состояния элементов и устройств КС?
8. Дайте определение понятию восстанавливаемых систем.
9. Что такое Марковская цепь?
10. Для оценки каких систем используют Марковские модели надежности?
Литература: 1, 2, 3, 10, 11.
Тема: Приближенные методы расчета надежности технических средств ИС
1. Основные допущение и ограничения при оценки надежности последовательно-параллельных структур.
2. Приближенные методы расчета надежности восстанавливаемых ИС, при последовательном и параллельном включении подсистем ИС.
3. Структурные схемы расчета надежности ИС.
Ключевые слова
Надежность, последовательно-параллельная структура, приближенные методы расчета надежности, структурное схема расчета надежности, интенсивность отказа, интенсивность восстановления, коэффициент готовности, время восстановления, компьютерная система.
Лекция 9
Тема: Оценка надежности методом путей и сечений. Логико-вероятностные методы анализа сложных систем
План
1. Метод минимальных путей и сечений для расчета показателей надежности систем с разветвленной структурой.
2. Основные определения и понятия логико-вероятностных методов анализа и оценка надежности ИС.
3. Сущность метода кратчайшего пути успешного функционирования и минимального сечения отказов.
4. Расчет функции работоспособности и функции отказа для мостиковой структуры.
5. Области применения этих методов. Статистическое моделирование для оценки надежности ИС.
Ключевые слова
Показатели надежности, разветвленная структура ИС, минимальных путь, сечение, логико-вероятностный метод, мостиковая схема, функция работоспособности, кратчайший путь успешного функционирования, минимальное сечение отказов, вероятность безотказной работы, функция алгебры логики, структурная схема расчета надежности.
Встречаются структуры и способы организации ИС, когда резервирование имеет место, но его нельзя представить по схеме последовательного и параллельного включения элементов или подсистем. Для анализа надежности таких структур используют метод минимальных путей и сечений, который относится к приближенным методам и позволяет определить граничные оценки надежности сверху и снизу .
Путем в сложной структуре называется последовательность элементов, обеспечивающих функционирование (работоспособность) системы.
Сечением называется совокупность элементов, отказы которых приводят к отказу системы.
Вероятность безотказной работы последовательно включенных параллельных цепей дает верхнюю оценку для ВБР системы данной структуры. Вероятность безотказной работы параллельно включенных последовательных цепей из элементов путей дает нижнию оценку для ВБР системы данной структуры. Фактическое значение показателя надежности находится между верхней и нижней границами.
Рассмотрим мостиковую схему соединения элементов системы, состоящей из пяти элементов (рис. 1).
Рис. 1. Мостиковая схема соединения элементов (подсист.)
Здесь набор элементов образует минимальный путь, если исключение любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в переделах одного пути элементы находятся в основном соединении, а сами пути включаются параллельно. Набор минимальных путей для мостиковой схемы представлен на рис. 2. Пути образуют элемента 1, 3; 2, 4; 1, 5, 4; 2, 5, 3.
Рис. 2. Набор минимальных путей.
Для всех элементов схемы известны ВБР Р 1 , Р 2 , Р 3 , Р 4 , Р 5 и соответствующие им вероятности отказа типа «обрыв» Q 1 ÷ Q 5 , необходимо определить вероятность наличие цепи между точками а и в . Поскольку один и тот же элемент включается в два параллельных пути, то в результате расчета получается оценка безотказности сверху.
Р в = 1- Q 13 ∙ Q 24 ∙ Q 154 ∙ Q 253 = 1- (1-Р 1 Р 3)(1-Р 2 Р 4)(1-Р 1 Р 5 Р 4)(1-Р 2 Р 5 Р 3)
При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из работоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы.
При правильном подборе элементов сечения возвращение любого из элементов в работоспособное состояние восстанавливает работоспособное состояние системы.
Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В переделах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы системы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.
Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приведена на рис. 3. Так как один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу.
P н = P 12 ∙ P 34 ∙ P 154 ∙ P 253 = (1- q 1 q 2 )∙ (1- q 3 q 4 )∙ (1- q 1 q 5 q 4 )∙ (1- q 2 q 5 q 3 )
Рис. 3. Набор минимальных сечений
Вероятность безотказной работы системы Р с оценивается тогда по двойному неравенству
Р н ≤Р с ≤Р в
Таким образом, данный метод позволяет представить систему с произвольной структурой в виде параллельных и последовательных цепей. (При составлении минимальных путей и сечений любая система преобразуется в структуру с параллельно-последовательным или последовательно-параллельным соединением элементов). Метод прост, но требует точного определения всех путей и сечений. Он получил широкое применение при расчете надежности подсистем АСУТП, особенно применительно к системам защиты и логического управления. Его используют в системах регулирования мощности реактора, предусматривающая возможность перехода от одной неисправной цепи регулирования к другой, находящийся в резервном состоянии.
Логико-вероятностные методы анализа надежности систем
Сущность логико-вероятностных методов заключается в использовании функций алгебры логики (ФАЛ) для аналитической записи условий работоспособности системы и переходе от ФАЛ к вероятностным функциям (ВФ), объективно выражающим безотказность системы. Т.е. с помощью логико-вероятностного метода можно описать схемы ИС для расчета надежности с помощью аппарата математической логики с последующим использованием теории вероятностей при определении показателей надежности .
Система может находится только в двух состояниях: в состоянии полной работоспособности (у = 1) и в состоянии полного отказа (у = 0). При этом предполагается, что действие системы детерминировано зависит от действия ее элементов, т.е. у является функцией х 1 , х 2 , … , x i , … , x n . Элементы могут находиться также только в двух несовместных состояниях: полной работоспособности (x i = 1) и полного отказа (x i = 0).
Функцию алгебры логики, связывающую состояние элементов с состоянием системы у (х 1 , х 2 ,…, x n ) называют функцией работоспособности системы F (y ) = 1.
Для оценки работоспособных состояний системы используют два понятия:
1) кратчайшего пути успешного функционирования (КПУФ), который представляет собой такую конъюнкцию её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив функционирования системы. Такая конъюнкция записывается в виде следующей ФАЛ:
где
i
– принадлежит множеству номеров
, соответствующих данному
l
-му пути.
Другими словами, КПУФ системы описывает одно из её возможных работоспособных состояний, которое определяется минимальным набором работоспособных элементов, абсолютно необходимых для выполнения заданных для системы функций.
2) минимального сечения отказов системы (МСО) представляющего собой такую конъюнкцию из отрицаний её элементов, ни одну из компонент которой нельзя изъять, не нарушив условия неработоспособности системы. Такую конъюнкцию можно записать в виде следующей ФАЛ:
где означает множество номеров, соответствующих данному сечению.
Другими словами, МСО системы описывает один из возможных способов нарушения работоспособности системы с помощью минимального набора отказавших элементов.
Каждая избыточная система имеет конечное число кратчайших путей (l = 1, 2,…, m ) и минимальных сечений (j = 1, 2,…, m ).
Используя эти понятия можно записать условия работоспособности системы.
1) в виде дизъюнкции всех имеющихся кратчайших путей успешного функционирования.
;
2) в виде конъюнкции отрицаний всех МСО
;
Таким образом, условия работоспособности реальной системы можно представить в виде условий работоспособности некоторой эквивалентной (в смысле надежности) системы, структура которой представляет параллельное соединение кратчайших путей успешного функционирования, или другой эквивалентной системы структура которой представляет соединение отрицаний минимальных сечений.
Например, для мостиковой структуры ИС функция работоспособности системы с помощью КПУФ запишется следующим образом:
;
функцию работоспособности этой же системы через МСО можно записать в следующем виде:
При небольшом числе элементов (не более 20) может быть использован табличный метод расчета надежности, который основан на использовании теоремы сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность безотказной работы системы можно вычислить по формуле (через вероятностную функцию вида):
Логико-вероятностные методы (методы: разрезания, табличный, ортогонализации) широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы.
Для надежности компьютерной системы со сложной структурой резервирования может быть использован метод статистического моделирования.
Идея метода заключается в генерировании логических переменных x i c заданной вероятностью pi возникновения единицы, которые подставляются в логическую структурную функцию моделируемой системы в произвольной форме и затем вычисляется результат.
Совокупность х 1 , х 2 ,…, х n независимых случайных событий, образующих полную группу, характеризуется вероятностями появления каждого из событий p (x i ), причем .
Для моделирования этой совокупности случайных событий используется генератор случайных чисел, равномерно распределенных в интервале
Значение p i выбирается равным вероятности безотказной работы i -й подсистемы. При этом процесс вычисления повторяется N 0 раз с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x i (при этом подсчитывается количество N (t ) единичных значений логический структурной функции). Отношение N (t )/ N 0 является статистической оценкой вероятности безотказной работы
где N (t ) – количество безотказно работающих до момента времени t объектов, при их исходном количестве.
Генерирование случайных логических переменных x i с заданной вероятностью появления единицы р i осуществляется на основании равномерно распределенных в интервале случайных величин, получаемых с помощью стандартных программ, входящих в математическое обеспечение всех современных компьютеров.
Контрольные вопросы и задания
1. Назовите метод оценки надежности ИС, где вероятность безотказной работы системы определяется как Р н ≤Р с ≤Р в .
2. Для расчета надежности каких систем используется метод путей и сечений?
3. С помощью какого метода можно оценить надежность устройств мостикового типа?
4. Какие методы определения показателей надежности восстанавливаемых систем известны?
5. Структурно представьте мостиковую схему набором минимальных путей и сечений.
6. Дайте определение минимального пути и минимального сечения.
7. Запишите функцию работоспособности для устройства с разветвленной структурой?
8. Что называется функцией работоспособности?
9. Что такое кратчайший путь успешного функционирования (КПУФ). Запишите условия работоспособности в виде КПУФ.
10. Где используется логико-вероятностный метод оценки надежности?
Литература: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Классические методы расчета надежности систем
К классическим методам относятся модели надежности с последовательным, параллельным, параллельно-последовательным соединениями элементов, их различные модификации.
Модель с последовательным соединением элементов. При расчетах надежности последовательным называется такое соединение элементов, при котором отказ хотя бы одного из них приводит к отказу всего соединения в целом. Последовательное соединение в указанном выше смысле не всегда совпадает с физическим последовательным соединением элементов. Отказы элементов предполагаются независимыми, то есть отказ любой группы элементов никак не влияет на вероятностные характеристики остальных элементов. Элемент понимается как один из самостоятельных участков последовательного соединения.
Последовательное соединение элементов
В данном случае вероятность безотказной работы системы можно рассчитать по формуле:
где Р с – вероятность безотказной работы системы; Р i (t) – вероятность безотказной работы i- го элемента системы
Модель с параллельным соединением элементов (рис. 2.2). При расчетах надежности параллельным (резервным) называется такое соединение элементов, при котором отказ всего соединения происходит при отказе всех элементов системы (элементы дублируют друг друга).
Параллельное соединение элементов
В этом случае показатель надежности системы P c определяется через вероятности отказа элементов q 1 , q 2 , …, q n , которые связаны с вероятностью безотказной работы соотношениями вида q i (t) = 1 – P i (t)
Вероятность отказа всей системы равна:
Тогда вероятность безотказной работы системы с параллельным соединением элементов q 1 , q 2 , …, q n имеет вид
Модель с параллельно-последовательным соединением элементов . При расчетах надежности параллельно-последовательным называется такое соединение элементов, при котором можно составить структурные схемы участков как с последовательным, так и с паралелльным соединением элементов
Параллельно-последовательное соединение элементов
Для системы вначале рассчитывается вероятность безотказной работы участка 23:
P 23 = 1 - (1 - P 2 (t))×(1 – P 3 (t)),
затем – участка 123: P 123 (t) = P 1 (t)×P 23 (t) = P 1 (t)×(1 – (1 – P 2 (t))×(1 – P 3 (t))).
Итоговая расчетная формула имеет вид P с (t) = 1 – (1 – P 123 (t))×(1 – P 4 (t)).
Модели несводимые к параллельно-последовательным соединениям . К данному классу относятся системы с мостовыми и еще более сложными соединениями элементов (рис. 2.4).
Пример мостового соединения элементов
Система является работоспособной, если работоспособны элементы:
Надежность систем данного класса целесообразно оценивать по логико-вероятностному методу, используя аппарат алгебры логики.
Модель с использованием марковских процессов. Модель задается в виде состояний, в которых система может находиться, и возможных переходов из одного состояния в другое (рис. 2.5).
При представлении ИС с помощью данной модели используется теория марковских процессов в том случае, если нахождение системы не зависит от того, в каком состоянии находилась ИС в прошлом.
Вероятностный граф состояний системы имеет следующие состояния:
1. Работают оба элемента системы.
2. Отказ одного из элементов.
3. Отказ двух элементов.
Вероятностный граф состояний системы
Если заданы вероятности перехода системы из состояния iв состояние j b ij , то можно определить вероятности нахождения системы в i- м состоянии P i (t), а значит и показатели надежности, составляя и решая уравнение Колмогорова – Смирнова.
Производная от вероятности нахождения системы в i-том состоянии равна алгебраической сумме произведений интенсивностей перехода на вероятности соответствующих состояний. Тем произведениям, которым соответствуют уходящие из данного состояния стрелки, приписывают знак "-", а входящим – "+".
Таким образом, для данного примера системы имеем:
Решив систему уравнений мы определим вероятности нахождения системы в i-м состоянии P i (t).
Функция вероятности безотказной работы системы в данном случае равна вероятности нахождения системы в 1-м состоянии: P c (t) = P 1 (t).
Метод основан на математическом аппарате алгебры логики. Расчет надежности системы управления предполагает определение связи между сложным событием (отказ системы) и событиями, от которых оно зависит (отказы элементов системы). Следовательно, расчеты на надежность основаны на проведении операций с событиями и высказываниями, в качестве которых принимаются утверждения о работоспособности или отказе элемента (системы). Каждый элемент системы представляется логической переменной, принимающей значение 1 или 0.
События и высказывания при помощи операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания объединяются в логические уравнения, соответствующие условию работоспособности системы. Составляется логическая функция работоспособности. Расчет, основанный на непосредственном использовании логических уравнений, называется логико-вероятностным и выполняется в семь этапов:
1. Словесная формулировка условий работоспособности объекта. Описывается зависимость работоспособности информационной системы от состояния ее отдельных элементов.
2. Составление логической функции работоспособности. Представляет собой логическое уравнение, соответствующее условию работоспособности системы управления
которое выражено в дизъюнктивной форме, например:
где x i – условие работоспособности i- го элемента Fл; X i = 1 – работоспособное состояние, X i = 0 – неработоспособное состояние.
3. Приведение логической функции работоспособности F Л к ортогональной бесповторной форме F ЛО. Сложную логическую функцию работоспособности необходимо привести к ортогональной бесповторной форме.
Функция вида (2.2) называется ортогональной, если все ее члены D i попарно ортогональны (то есть, их произведение равно нулю), и бесповторной, если каждый ее член D i состоит из букв х i , с разными номерами (то есть отсутствуют повторяющиеся аргументы), например: произведение элементарных конъюнкций х 1 , х 2 , x 4 и х 3 , x 2 равно нулю, так как одна из них содержит x 2 , а другая – x 2 , следовательно, они ортогональны; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2 , где x 2 и x 2 имеют один и тот же номер, поэтому член D 1 не является бесповторным.
– ортогональная бесповторная форма;
– ортогональная, но не бесповторная форма.
Функцию F л можно преобразовать к ортогональной бесповторной форме F ло, используя законы и правила преобразования сложных высказываний. При расчетах наиболее употребительны правила:
4. Арифметизация F ло. По найденной ортогональной бесповторной логической функции работоспособности F ЛО определяется арифметическая функция F a (2.3).
где A i – арифметическая форма членов D i функции F ло.
Арифметизация членов D i , в общем виде содержащих операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, осуществляется заменой логических операций арифметическими по правилам:
5. Определение вероятности безотказной работы системы.
Вероятность безотказной работы системы устанавливается как вероятность истинности логической функции работоспособности, представленной в ортогональной бесповторной форме, и вычисляется как сумма вероятностей истинности всех ортогональных членов этой функции алгебры логики. Все события (высказывания) заменяются их вероятностями (вероятностями безотказной работы соответствующих элементов).
6. Вычисление требуемых показателей надежности системы управления по найденному показателю P c (t):
Вероятность безотказной работы P c (t);
Вероятность отказа Q c (t) = 1 – P c (t);
Интенсивность отказов
Средняя наработка до отказа
7. Анализ соответствия полученных показателей надежности заданным техническим требованиям системы.
Допущения, принимаемые при логико-вероятностном методе: для элементов системы возможны только два состояния; метод применим для невосстанавливаемых систем; отказы элементов системы должны быть независимы.
