Рассмотрим ламинарное движение идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости в изогнутой трубке разного диаметра. Мы уже знаем, что из уравнения непрерывности жидкости S⋅v = const. Какие ещё можно сделать выводы?
Рассмотрим трубку разного сечения:
Возьмём срез жидкости в трубке. Из уравнения непрерывности следует, что при уменьшении сечения трубы увеличивается скорость потока жидкости. Если скорость увеличивается, значит по второму закону Ньютона действует сила F = m⋅a. Эта сила возникает за счет разности давления между стенками сечения потока жидкости. Значит сзади давление больше, чем спереди сечения. Это явление впервые описал Даниил Бернулли.
Закон Бернулли
В тех участках течения жидкости, где скорость больше давление меньше и наоборот.
Как любое тело, жидкость при перемещении совершает работу, т.е. выделяет энергию или поглощает. Закон сохранения энергии утверждает, что энергия тела никогда не исчезает и не появляется вновь, она может лишь превращаться из одного вида в другой. Этот закон универсален. В различных разделах физики он имеет свою формулировку.
Рассмотрим, какую работу совершает жидкость:
- Работа давления жидкости (E P) . Давления жидкости выражается в том, что жидкость сзади давит на жидкость спереди.
- Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h) . При опускании жидкости эта работа отрицательная, при поднятии - положительная.
- Работа по приданию скорости жидкости (E v) . При сужении трубки работа положительная, при расширении - отрицательная. Ещё это называют - кинетическая энергия или динамическое давление.
Так как мы рассматриваем идеальную жидкость, то трение отсутствует, а значит нет работы силы трения. Но в реальной жидкости она присутствует.
По закону сохранения энергии:
E p + E h + E v = const
Давайте теперь определим, чем равняется каждая из этих работ.
Работа давления жидкости (E P)
Формула давления имеет вид: P = F/S, F = P⋅S. Работа силы создающая давление:
E P = P⋅S⋅ΔL = P⋅V
Работа по перемещению жидкости на высоту h (E h)
Работа по перемещению жидкости на высоту h - это изменение потенциальной энергии которая равна:
E h = m⋅g⋅h = V⋅ρ⋅g⋅h
Работа по приданию скорости жидкости (E v)
Работа по приданию скорости жидкости - это кинетическая энергия, которая зависит от массы тела и его скорости и равна:
E k = m⋅v 2 /2 = V⋅ρ⋅v 2 /2
Получим формулу сохранения энергии жидкости:
P⋅V + V⋅ρ⋅g⋅h + V⋅ρ⋅v 2 /2 = const
Сократим каждое слагаемое на V. Получим уравнение:
Формула Бернулли
P + ρ⋅g⋅h + ρ⋅v 2 /2 = const
Разделим каждый член последнего уравнения ρ⋅g, получим
| h + | P | + | v 2 | = const | |
| ρ⋅g | 2g |
где h - геометрический напор, м;
P / ρ∙g - пьезометрический напор, м;
v 2 / 2g - скоростной напор, м.
Полученное уравнение называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Оно было получено Даниилом Бернулли в 1738 году.
Сумма трех членов уравнения называется полным напором.
Или можно сказать по-другому - для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
Какое отношение к авиации имеет закон Бернулли? Оказывается, самое прямое. С его помощью можно объяснить возникновение подъёмной силы крыла самолёта и других аэродинамических сил.
Закон Бернулли
Автор этого закона - швейцарский физик-универсал, механик и математик. Даниил Бернулли - сын известного швейцарского математика Иоганна Бернулли. В 1838 г. он опубликовал фундаментальный научный труд «Гидродинамика», в котором и вывел свой знаменитый закон.
Следует сказать, что в те времена аэродинамика как наука ещё не существовала. А закон Бернулли описывал зависимость скорости потока идеальной жидкости от давления. Но в начале ХХ века начала зарождаться авиация. И вот тут закон Бернулли оказался очень кстати. Ведь если рассматривать воздушный поток как несжимаемую жидкость, то этот закон справедлив и для воздушных потоков. С его помощью смогли понять, как поднять в воздух летательный аппарат тяжелее воздуха. Это важнейший законом аэродинамики, так как он устанавливает связь между скоростью движения воздуха и действующим в нём давлением, что помогает делать расчёты сил, действующих на летательный аппарат.
Закон Бернулли - это следствие закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной и несжимаемой жидкости .
В аэродинамике воздух рассматривается как несжимаемая жидкость , то есть, такая среда, плотность которой не меняется с изменением давления. А стационарным считается поток, в котором частицы перемещаются по неизменным во времени траекториям, которые называют линиями тока. В таких потоках не образуются вихри.
Чтобы понять сущность закона Бернулли, познакомимся с уравнением неразрывности струи.
Уравнение неразрывности струи
Из него видно, что чем выше скорость течения жидкости (а в аэродинамике – скорость воздушного потока), тем меньше давление, и наоборот.
Эффект Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. Во время сильных порывов ветра скорость воздушного потока возрастает, а давление падает. В комнате давление воздуха выше. И языки пламени устремляются вверх в дымоход.
Закон Бернулли и авиация
С помощью этого закона очень просто объяснить, как возникает подъёмная сила для летательного аппарата тяжелее воздуха.
Во время полёта крыло самолёта как бы разрезает воздушный поток на две части. Одна часть обтекает верхнюю поверхность крыла, а другая нижнюю. Форма крыла такова, что верхний поток должен преодолеть больший путь для того, чтобы соединиться с нижним в одной точке. Значит, он двигается с большей скоростью. А раз скорость больше, то и давление над верхней поверхностью крыла меньше, чем под нижней. За счёт разности этих давлений и возникает подъёмная сила крыла.
Во время набора самолётом высоты возрастает разница давлений, а значит, увеличивается и подъёмная сила, что позволяет самолёту подниматься вверх.
Сразу сделаем уточнение, что вышеописанные законы действуют, если скорость движения воздушного потока не превышает скорость звука (до 340 м/с). Ведь мы рассматривали воздух как несжимаемую жидкость. Но оказывается, что при скоростях выше скорости звука воздушный поток ведёт себя по-другому. Сжимаемостью воздуха пренебрегать уже нельзя. И воздух в этих условиях, как любой газ, старается расшириться и занять больший объём. Появляются значительные перепады давления или ударные волны. А сам воздушный поток не сужается, а, наоборот, расширяется. Решением задач о движении воздушных потоков со скоростями, близкими или превышающими скорость звука, занимается газовая динамика , возникшая как продолжение аэродинамики.
Используя аэродинамические законы, теоретическая аэродинамика позволяет сделать расчёты аэродинамических сил, действующих на летательный аппарат. А правильность этих расчётов проверяют, испытывая построенную модель на специальных экспериментальных установках, которые называются аэродинамическими трубами . Эти установки позволяют измерить величину сил специальными приборами.
Кроме исследования сил, действующих на аэродинамические модели, с помощью аэродинамических измерений изучают распределение значений скорости, плотности и температуры воздуха, обтекающего модель.
Дата: 2009-10-20
Для двух сечений потока 1-1 и 2-2 реальной жидкости (рисунок 1) при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли имеет вид:
z 1 + p 1 /γ + α 1 υ 1 2 /(2g) = z 2 + p 2 /γ + α 2 υ 2 2 /(2g) + Σh п (1)
где z - ордината, определяющая высоту положения центра выбранного сечения над произвольной горизонтальной плоскостью сравнения 0-0; p/γ - пьезометрическая высота; z + p/γ = H п - гидростатический напор; αυ 2 /(2g) = h v - скоростная высота, или скоростной напор; α - коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скоростей в живом сечении потока.
Сумма трех членов:
z + p/γ + αυ 2 /(2g) = H
есть полный напор; Σh п - потеря напора между выбранными сечениями потока. Вместо выражения (1) можно написать:
H 1 = H 2 + Σh п
Все члены уравнения Бернулли в формуле (1) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости, т. е. энергию, отнесенную к единице веса жидкости.
Так, z
и p/γ
- удельная потенциальная энергия соответственно положения и давления;
z + p/γ
- удельная потенциальная энергия жидкости;
αυ 2 /(2g)
- удельная кинетическая энергия, выраженная через среднюю скорость потока в данном
сечении. Сумма всех трех членов
z + p/γ + αυ 2 /(2g) = H
представляет полный запас удельной механической энергии жидкости в данном сечении потока;
Σh п
- удельная механическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления движению жидкости
между сечениями потока и переходящая в тепловую энергию, которая состоит из следующих слагаемых:
Σh п = Σh дл + Σh мест
где Σh дл - потери энергии (напора) на трение по длине; Σh мест - местные потери энергии (напора).
Если уравнение (1) умножить на γ, то получим:
γz 1 + p 1 + γα 1 υ 1 2 /(2g) = γz 2 + p 2 + γα 2 υ 2 2 /(2g) + γΣh п (2)
Члены уравнения (2) имеют размерность давления и представляют энергию, отнесенную к единице объема.
Если уравнение (1) умножить на g, то получим
gz 1 + p 1 /ρ + α 1 υ 1 2 /2 = gz 2 + p 2 /ρ + α 2 υ 2 2 /2 + gΣh п (3)
Члены уравнения (3) имеют размерность м 2 /с 2 и представляют энергию, отнесенную к единице массы.
РИСУНОК 1
На рисунке 1 приведена диаграмма уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Здесь 0-0 - плоскость сравнения; N-N - плоскость начального напора; Н-Н - напорная линия, или линия полной удельной энергии. Падение ее на единицу длины представляет гидравлический уклон J ; Р-Р - пьезометрическая линия, или линия удельной потенциальной энергии. Падение ее на единицу длины представляет пьезометрический уклон J п .
Так как общий запас удельной энергии вдоль потока непрерывно уменьшается, линия Н-Н всегда нисходящая, а гидравлический уклон всегда положительный (J>0 ). Пьезометрическая линия может быть и нисходящей, и восходящей (последнее имеет место на расширяющихся участках, когда средняя скорость потока уменьшается), поэтому пьезометрический уклон может быть и положительным (J>0 ), и отрицательным(J).
На участках с равномерным движением жидкости, где имеют место только потери напора на трение по длине, линии Н-Н и Р-Р представляют взаимно параллельные прямые, поэтому J = J п =h дл /L . В этом случае потеря напора может быть определена по разности гидростатических напоров:
h дл = (z 1 + p 1 /γ) - (z 2 + p 2 /γ)
РИСУНОК 2
Для горизонтальных участков потоков (z 1 =z 2 ) или в случае, если плоскость сравнения 0-0 проведена по оси потока (z 1 =z 2 = 0) (рисунок 2), потеря напора на трение по длине может быть определена непосредственно по разности показаний пьезометров:
h дл = (p 1 - p 2)/γ
На рисунке 3 показаны линия энергии Н-Н и пьезометрическая линия P-P для трубопровода переменного сечения, соединяющего два открытых резервуара.
РИСУНОК 3
Источник: Вильнер Я.М. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам.
Комментарии к этой статье!!
Что хорошо то? типо вы что то из этого поняли! Люди уже отупели а это всё было выведено еще в 1697 году! Сейчас бы никто до этого не додумался!
вьезжаю но медленно столько всего интересного
уравнение бернулли и в 23 веке таким же и останется справедливым
Бернулли уравнение I Берну́лли уравне́ние
дифференциальное уравнение 1-го порядка вида:
dy/dx + Py = Qy α ,
где Р, Q - заданные непрерывные функции от x ; α - постоянное число. Введением новой функции z = y -- α+1 Б. у. сводится к линейному дифференциальному уравнению (См. Линейные дифференциальные уравнения) относительно z. Б. у. было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697.
II Берну́лли уравне́ниеосновное уравнение гидродинамики (См. Гидродинамика), связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности ρ, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид:
v 2 / 2 + pl ρ + gh = const,
где g - ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на ρ, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена - его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть - давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури).
Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1 ) из Б. у. следует:
v 2 /2g = h или
т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h.
Если равномерный поток жидкости, скорость которого v 0 и давление p 0 , встречает на своём пути препятствие (рис. 2 ), то непосредственно перед препятствием происходит подпор - замедление потока; в центре области подпора, в критической точке, скорость потока равна нулю. Из Б. у. следует, что давление в критической точке p 1 = p 0 + ρv 2 0 /2. Приращение давления в этой точке, равное p 1 - p 0 = ρv 2 0 /2, называется динамическим давлением, или скоростным напором. В струйке реальной жидкости её механическая энергия не сохраняется вдоль потока, а расходуется на работу сил трения и рассеивается в виде тепловой энергии, поэтому при применении Б. у. к реальной жидкости необходимо учитывать потери на сопротивление.
Б. у. имеет большое значение в гидравлике (См. Гидравлика) и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики (См. Газовая динамика).
Лит.: Фабрикант Н.Я., Аэродинамика, ч. 1-2, Л.,1949- 64; Угинчус А. А., Гидравлика, гидравлические машины и основы сельскохозяйственного водоснабжения, К.-М., 1957, гл. V.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Смотреть что такое "Бернулли уравнение" в других словарях:
- (интеграл Бернулли) в гидроаэромеханике (по имени швейц. учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli)), одно из осн. ур ний гидромеханики, к рое при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости в однородном поле сил тяжести имеет вид: где v… … Физическая энциклопедия
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Бернулли уравнение выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и технической гидродинамике. Выведено Д.… … Большой Энциклопедический словарь
В аэро и гидродинамике соотношение, связывающее газо или гидродинамические переменные вдоль линии тока установившегося баротропного течения идеальной жидкости или газа в потенциальном поле массовых сил F = grad(Π), где (Π) потенциал: (Π) + V2/2 + … Энциклопедия техники
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и технической гидродинамике. Выведено… … Энциклопедический словарь
Обыкновенное дифференциальное уравнение 1 го порядка где. действительное число, не равное нулю и единице. Это уравнение впервые было рассмотрено Я. Бернулли . Подстановкой Б. у. приводится к линейному неоднородному уравнению 1 го порядка (см.… … Математическая энциклопедия
Бернулли уравнение Энциклопедия «Авиация»
Бернулли уравнение - в аэро и гидродинамике соотношение, связывающее газо или гидродинамические переменные вдоль линии тока установившегося баротропного [ρ = ρ(p)] течения идеальной жидкости или газа в потенциальном поле массовых сил (F = ‑gradΠ, где Π … … Энциклопедия «Авиация»
- [по имени швейц. учёного Д. Бернулли (D. Bernoulli; 1700 1782)] одно из осн. ур ний гидродинамики, выражающее закон сохранения энергии. 1) Б. у. для элементарной (с малым поперечным сечением) струйки идеальной жидкости: где р, РО и v статич.… … Большой энциклопедический политехнический словарь
Связывает скорость и давление в потоке идеальной несжимаемой жидкости при установившемся течении. Б. у. выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. Широко применяется в гидравлике и техн. гидродинамике. Выведено Д. Бернулли в 1738 … Естествознание. Энциклопедический словарь
Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в … Большая советская энциклопедия
Книги
- Гидродинамика, или записки о силах и движениях жидкостей , Д. Бернулли. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. В 1738 вышла в свет знаменитая работа Даниила Бернулли "Гидродинамика, или Записки о силах и…
Как закон Всемирного Тяготения Ньютона действовал задолго до самого Ньютона, так и уравнение Бернулли существовало задолго до того, как родился сам Бернулли. Ему удалось лишь облечь это уравнение в наглядную форму, в чем его неоспоримая и огромная заслуга. Зачем мне уравнение Бернулли, спросите Вы, ведь я прекрасно жил и без него. Да, но оно может пригодиться Вам хотя бы на экзамене по гидравлике! Как говорится, «все не так уж плохо, если ты знаешь и можешь сформулировать уравнение Бернулли».
Кто такой Бернулли?
Даниил Бернулли – сын известного ученого Якоба Бернулли, швейцарский математик и физик. Жил с 1700 по 1782 годы, а с 1725 по 1733 трудился в Петербургской Академии наук. Помимо физики и математики Бернулли также изучал медицину наряду с Д’Аламбером и Эйлером считается отцом основателем математической физики. Успехи этого человека позволяют с уверенностью сказать, что это был настоящий «супермозг».
Д. Бернулли (1700-1782)
Идеальная жидкость и течение идеальной жидкости
Помимо известной нам материальной точки и идеального газа существует также идеальная жидкость . Какой-нибудь студент, конечно, может подумать, что эта жидкость – его любимое пиво или кофе, без которого невозможно жить. Но нет, идеальная жидкость – это жидкость, которая абсолютно несжимаема, лишена вязкости и теплопроводности. Тем не менее, такая идеализация дает вполне хорошее описание движения реальных жидкостей в гидродинамике.
Течением жидкости называется движение ее слоев относительно друг друга или относительно всей жидкости.
Помимо того есть разные режимы течения жидкости. Нас интересует тот случай, когда скорость потока в какой-то конкретной точке не меняется со временем. Такой поток называют стационарным. При этом скорость течения в различных точках стационарного потока может различаться.
– совокупность частиц движущейся жидкости.
Вывод уравнения Бернулли
Но как описать движение жидкости? Для этого нам нужно знать вектор скорости частиц, точнее зависимость его от времени. Совокупность скоростей в разных точках потока дает поле вектора скорости.
Рассмотрим стационарное течение жидкости по трубке. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другой – S2. При стационарном потоке через оба сечения за одинаковый промежуток времени пройдет одинаковое количество жидкости.
Данное уравнение – уравнение неразрывности струи.
Узнав его, Бернулли решил установить связь между давлением и скоростью жидкости в разных сечениях. Полное давление – это сумма статистического (обусловлено потенциальной энергией жидкости) и динамического давлений (обусловлено кинетической энергией). Оказывается, сумма статического и динамического давлений в любом сечении трубы постоянна. Само же уравнение Бернулли имеет вид:
Смысл уравнения Бернулли
Физический смысл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии. Первый член уравнения Бернулли – это кинетическая энергия, второе слагаемое уравнения Бернулли – потенциальная энергия в поле силы тяжести, третье – работа силы давления при подъеме жидкости на высоту h.
Вот и все, друзья, не так уж и страшно. Совсем немного времени, а Вы уже знаете уравнение Бернулли. Даже если Вы не знаете больше ничего, с этими знаниями идти на экзамен или зачет гораздо лучше, чем просто так. А если Вам необходима помощь в том, как решать задачи на уравнение Бернулли – не стесняйтесь и оформляйте заявку. После того как распишут решение уравнения Бернулли максимально подробно, у Вас не останется пробелов в знаниях.
