Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
šКузбасский государственный технический университетŸ
Кафедра строительного производства и экспертизы недвижимости
РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ
Методические указания к расчетно-графической работе по курсу šСтроительная механикаŸ для студентов специальности 270102
šПромышленное и гражданское строительствоŸ заочной формы обучения
Составители Г. П. Бардакова А. В. Покатилов
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 30.11.2009
Электронная копия хранится в библиотеке ГУ КузГТУ
Кемерово 2010
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ
Настоящие методические указания составлены с целью облегчения студентам, имеющим предварительную теоретическую подготовку, самостоятельного выполнения расчетно-графической работы на тему šРасчет многопролетных шарнирных балок на действие неподвижной и подвижной нагрузокŸ.
Прежде чем приступить к выполнению работы, студент должен изучить по рекомендуемой литературе следующие вопросы из теории расчета многопролетных шарнирных балок (м.ш.б.):
порядок расчета м.ш.б. на неподвижную нагрузку;
понятие о линиях влияния (л.в.);
построение л.в. опорных реакций и внутренних усилий в
определение внутренних усилий с использованием л.в. Расчетно-графическая работа выполняется в карандаше на
стандартном листе ватмана. Все схемы и эпюры вычерчиваются в масштабе. В правом нижнем углу вычерчивается стандартный штамп.
2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ РАСЧЕТА МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ
Многопролетной шарнирной балкой (м.ш.б.) называется статически определимая и геометрически неизменяемая система, состоящая из ряда однопролетных балок, соединенных между собой шарнирами.
Расчет м.ш.б. на действие неподвижной нагрузки сводится к расчету отдельных однопролетных балок с использованием уравнений статики.
Расчет м.ш.б. на действие подвижной нагрузки производится с помощью л.в.
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ
Для статической определимости и геометрической неизменяемости м.ш.б. число шарниров, введенных в пролеты, должно удовлетворять условию:
Ш Со 3,
где С о число опорных связей; 3 – число уравнений статики.
Это условие является необходимым, но недостаточным для оценки геометрической неизменяемости. Необходимо изобразить схему взаимодействия балок (šпоэтажнуюŸ схему) и посмотреть, является ли каждый из элементов образующих м. ш. б. простой балкой с тремя связями.
Для построения šпоэтажнойŸ схемы м.ш.б. мысленно расчленяют по шарнирам на ряд однопролетных балок. Балки с двумя наземными опорами или с жестким защемлением являются главными балками, занимают нижние этажи на šпоэтажнойŸ схеме и служат опорой для соседних балок. Балки с одной наземной опорой являются вспомогательными балками, занимают этаж выше и опираются шарниром на соседний устойчивый элемент.
Балки, не имеющие наземных опор (подвесные балки) занимают верхний этаж на šпоэтажнойŸ схеме.
šПоэтажнуюŸ схему удобно расположить непосредственно под схемой заданной балки.
Примеры построения šпоэтажныхŸ схем показаны на рис. 1.
Рис. 1. šПоэтажныеŸ схемы балок
4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ
После построения šпоэтажнойŸ схемы заданную м.ш.б. можно рассматривать как ряд простых балок. Аналитический расчет следует вести по частям, начиная с расчета вышележащей балки на действие внешней нагрузки и последовательно переходя к нижележащим. При расчете нижележащих балок следует учитывать кроме внешней нагрузки опорные давления от вышележащих балок, равные опорным реакциям последних, но имеющих обратное направление.
Для расчета удобно схему каждой простой балки вычерчивать отдельно, а эпюры М и Q строить на общей базе šпоэтажнойŸ схемы.
Правило знаков для М и Q. Изгибающий момент положителен, если растянуто нижнее (пунктирное) волокно и на эпюре М откладывается со стороны пунктирного волокна. Поперечная сила положительна, если стремится повернуть ось балки по ходу часовой стрелки и на эпюре Q откладывается со стороны сплошного волокна.
Порядок расчета: 1.Проверяем число шарниров.
2. Строим šпоэтажнуюŸ схему.
3. Составляем расчетную схему каждой простой балки.
4. Определяем опорные реакции в каждой простой балке, используя уравнения статики.
5. Проверяем величины опорных реакций с использованием уравнения Y 0 .
6. Строим эпюру моментов для балок, занимающих верхние этажи на šпоэтажной схемеŸ.
7. При построении эпюр моментов нижележащих балках учитываем опорные давления вышележащих балок.
8. Строим эпюру моментов для всей м.ш.б.
9. Строим эпюру поперечных сил Q по эпюре изгибающих моментов М.
5. ПРИМЕР РАСЧЕТА МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Построить (аналитически) эпюры моментов М и поперечных сил Q для балки изображенной на рис. 2а.
V А = 6 | VВ = 6 | ||||
ДВ =6 | VЕ = 19 |
||||
ДА =6 | |||||
С 3 | |||||
VF = 5
1 д
Рис. 2. Пример аналитического расчета многопролетной шарнирной балки
Проводим кинематический анализ м.ш.б.
Необходимое число шарниров: Ш С о 3 6 3 3 , следовательно, система статически определима и может быть геометрически неизменяема.
Построение šпоэтажнойŸ схемы (рис. 2б) указывает на то, что каждая из частей м.ш.б. имеет достаточное количество связей и, следовательно, образует геометрически неизменяемую систему в целом.
Аналитический расчет начинаем с расчета балки А-В занимающей верхний этаж на действие внешней нагрузкиq (рис. 2в).
Опорные реакции такой балки равны А | ||||||
Эпюра М имеет вид квадратной параболы с ординатой посередине пролета, равной q l 2 4 3 2 4, 5 кН м.
8 8
Расчет балки А–С (рис. 2г) производим на действие внешней нагрузкиq и силы взаимодействия в шарниреД А / V А / 6 кН.
М С q 3 1, 5Д А 3 4 3 1, 5 6 3 36 кН
Расчет балки Е F (рис. 2д) производим на действие внешней нагрузки и силы взаимодействия в шарнире Д В / V В / 6 кН.
Определяем опорные реакции V Е иV F , используя уравнения статики.
М Е 0 ;P 16V F 12Д В 3q 3 1, 5 0
V F 6 16 6 3 4 3 1, 55 кН 12
М F 0 ;P 4V Е 12Д В 15q 3 13, 5 0
V Е 6 4 6 15 4 3 13, 519 кН 12
Проверка:
У 0 ;Д В q 3V Е V F P 6 4 3 19 5 6 0
Для построения эпюры М вычисляем значения изгибающих моментов в характерных сечениях:
М В 0;
М Е Д В 3q 3 1, 5 6 3 4 3 1, 5 36 кН;
М F P 4 6 4 24 кН м;
М 1 0 .
Эпюра изгибающих моментов для м.ш.б. показана на рис. 2е. Эпюру поперечных сил строим по эпюре изгибающих момен-
тов (рис. 2ж).
Q лев | М прМ лев | ||||||||||||||||||||||
Q пр | М прМ лев | ||||||||||||||||||||||
М прМ лев | |||||||||||||||||||||||
М прМ лев | |||||||||||||||||||||||
F1 | |||||||||||||||||||||||
6. РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКИ НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ
Расчет сооружений на подвижную нагрузку производится с помощью линий влияния.
Линия влияния (в дальнейшем л.в.) – это график изменения какого либо фактора (опорной реакции, изгибающего момента, по-
перечной силы) в данном сечении от подвижной нагрузки Р=1. Ордината л.в. равна величине того фактора, для которого эта л.в. построена в тот момент, когда груз Р=1 стоит над этой ординатой.
Линии влияния имеют отличия от эпюр внутренних усилий. Линия влияния строится от подвижной единичной сосредото-
ченной силы, а эпюры от неподвижной нагрузки любой величины. Эпюры усилий изображают закон изменения данного усилия
(изгибающего момента, поперечной силы) во всех сечениях сооружения, но только для одного конкретного положения заданной нагрузки. При изменении нагрузки следует строить новую эпюру.
Линия влияния, наоборот, характеризует изменение данного усилия в одном, определенном сечении в зависимости от положения единичной силы, перемещающейся по сооружению. Чтобы судить об изменении усилия, относящегося, к другому сечению следует строить новую линию влияния.
Л.в. может быть построена статическим или кинематическим способом. Строится л.в. в два этапа. На первом этапе строится л.в. искомого усилия в пределах той простой балки, к которой относится исследуемое сечение. На втором этапе добавляется продолжение л.в., обусловленное взаимодействием отдельных балок.
Для построения л.в. усилия статическим способом необходимо написать аналитическое выражение, из которого определяется исследуемое усилие и подставляя в него значения координат, характеризующих положение подвижной силы Р=1, вычислить ординаты л.в.
Кинематический способ построения л.в. основан на принципе возможных перемещений, который заключается в том, что для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех сил, действующих на систему, на любом возможной для нее бесконечно малом перемещении была равна нулю.
Силовой фактор, для которого строится л.в. (опорная реакция, изгибающий момент, поперечная сила) обычно представляют собой усилия в одной из связей системы. Удалив эту связь и заменив ее влияние искомым усилием, мы получим механизм с одной степенью свободы, график возможных перемещений которого и будет представлять собой в некотором масштабе искомую л.в.
7. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В МНОГОПРОЛЕТНОЙ ШАРНИРНОЙ БАЛКЕ
Произвести расчет на подвижную нагрузку м.ш.б. изображенной на рис. 3а.
Рис. 3. Пример построения линии влияния усилий в многопролетной шарнирной балке
Строим поэтажную схему м.ш.б. (рис. 3б).
Для построения л.в. V Е на поэтажной схеме находим ту балку, которой принадлежит опора Е и строим л.в.V Е в пределах балки ЕF аналитическим способом. Записав уравнение статикиМ F 0 , получаем зависимостьV Е от текущей абсциссыx груза Р=1.
М F 0 ; VЕ l Р l x0; VЕ
Задавая x граничные значения, строим график измененияV Е линию влиянияV Е : приx 0V Е =1; приx l V Е 0.
Для продолжения построения л.в. V Е рассматриваем движение груза Р=1 по вышележащим балкам по отношению к искомой, зная, что:
л.в. это прямая линия, которая имеет перелом в шарнирах
и проходит через ноль в наземных опорах;
в подвесной балке л.в. равна нулю во втором шарнире по ходу движения единичного груза от нижележащей балки;
движение единичного груза по нижележащим балкам не вызывает усилие в верхних этажах и искомая л.в. на этих участках будет нулевой.
Ординаты л.в. V Е определяем из подобия треугольников
линии влияния.
Для построения л.в. V Е кинематическим способом удалим, опорный стержень в точке Е и зададим балке ЕF в этой точке бесконечно малое возможное перемещение. В полученном таким образом механизме отклонение балки ЕF, как абсолютно жестком стержне, состоит только в повороте около опоры F, что вызывает поворот балки АВ около шарнира А и оставляет неподвижным стержень СА. График возможных перемещений механизма, показанный на рис. 3г, совпадает с л.в.V Е (рис. 3в).
Построение л.в. МI начинаем с построения аналитическим способом л.в. в балке ЕF, которой принадлежит сечение I.
При положении груза Р 1 левее сечения I записываем уравнение зависимости МI от текущей абсциссыx груза Р 1
Статически определимая неизменяемая система, состоящая из ряда однопролетных балок (с консолями и без консолей), соединенных между собой шарнирами, называется многопролетной статически определимой или многопролетной шарнирной балкой.
Однопролетные балки, составляющие многопролетную статически определимую балку, могут быть все сплошными или сквозными (т. е. фермами) или частью сплошными, а частью сквозными. Теория расчета таких балок была разработана инженером Г. Семиколеновым в 1871 г.1
При решении вопроса о статической определимости и геометрической неизменяемости многопролетной шарнирной балки следует иметь в виду, что такую балку всегда можно получить из неразрезной, т. е. статически неопределимой балки, включив в нее ряд шарниров.
Число таких шарниров, как увидим ниже, равно степени статической неопределимости неразрезной балки.
На рис. 2.28, а показана пятипролетная неразрезная балка. Она прикреплена к основанию с помощью семи опорных стержней. Для определения усилий в этих стержнях можно составить только три независимых уравнения равновесия. Поэтому такая балка не может быть рассчитана с помощью уравнений статики; она четыре раза статически неопределима.
Если число всех опорных связей неразрезной балки обозначить С, то степень статической неопределимости (или число лишних неизвестных) будет равна
Применив эту формулу для балки, изображенной на рис. 2.28, а, получаем
Каждый шарнир, установленный в пролете или на опоре неразрезной балки, позволяет составить одно дополнительное уравнение статики - условие равенства нулю суммы моментов относительно шарнира всех сил, приложенных к балке по одну сторону от него. Если поместить в неразрезной балке столько шарниров, сколько она имеет лишних неизвестных, то статически неопределимая балка обратится в статически определимую, так как в этом случае все неизвестные можно будет найти с помощью уравнений статики.
Шарниры в балке при этом должны быть расположены таким образом, чтобы система во всех своих частях была статически определимой и неизменяемой 1.
На рис. 2.28, б - д приведены различные схемы расположения шарниров, позволяющие превратить балку, изображенную на рис. 2.28, а, в статически определимую.
На рис. 2.28, е показана неудачная расстановка шарниров. Хотя общее число поставленных шарниров в балке и равно здесь четырем, т. е. числу лишних неизвестных в соответствующей ей неразрезной балке (рис. 2.28, а), но часть балки АВ получилась статически неопределимой, а часть ВС - изменяемой (возможные для этой части перемещения указаны на рис. 2.28, е штриховой линией).
На рис. 2.29, а показана неразрезная балка с одним заделанным концом. Напомним, что заделка содержит три связи (схема такого закрепления изображена на рис. 2.30). Поэтому здесь общее число связей , а число лишних неизвестных . Следовательно, для превращения балки в статически определимую необходимо поместить в ней четыре шарнира (например, как это показано на рис. 2.29, б).
На рис. 2.31, а изображена балка с двумя заделками, причем правая заделка имеет горизонтальную подвижность. Такая заделка
может быть схематически изображена двумя связями, как это показано на рис. 2.32.
На рис. 2.31, а число связей балки а потому Следовательно, для того чтобы балка стала статически определимой, необходимо поставить пять шарниров, например, так, как это показано на рис. 2.31, б.
Для решения вопроса о неизменяемости многопролетной балки, а также для более наглядного представления о ее работе следует изображать схему взаимодействия отдельных элементов балки.
Исследуем, например, изменяема ли балка, приведенная на рис. 2.33, а. Схема взаимодействия ее элементов представлена на рис. 2.33, б.
На этой схеме промежуточные шарниры заменены шарнирно-неподвижными опорами, соединяющими отдельные элементы балки. Из схемы видно, что система неизменяема, так как она представляет собой ряд двухопорных балок, связанных с «землей» или с геометрически неизменяемыми системами с помощью трех стержней, оси которых не пересекаются в одной точке.
В самом деле, балка АВЕ связана с «землей» тремя опорными стержнями и, следовательно, представляет собой геометрически неизменяемую систему.
Выше расположенная (на схеме) балка одним своим концом прикреплена с помощью двух стержней к геометрически неизменяемой балке АВЕ, а в точке С опирается на вертикальный опорный стержень, связывающий ее непосредственно с «землей». Такая связь обеспечивает балке полную неподвижность.
Аналогично прикрепляется и еще выше расположенная балка FD. Из приведенных схем можно вывести следующие правила установки шарниров для балок без заделанных (защемленных) концов:
1) в каждом пролете может быть установлено не более двух шарниров;
2) пролеты с двумя шарнирами должны чередоваться с пролетами без шарниров;
3) пролеты с одним шарниром могут следовать один за другим (начиная со второго пролета).
До сих пор рассматривались случаи, когда все опоры, кроме одной, подвижны в горизонтальном направлении. Теперь посмотрим, как будут выглядеть расчетные схемы балок, если две (или более) опоры неподвижны в горизонтальном направлении. В этом случае постановкой обычных шарниров невозможно обратить неразрезную балку в статически определимую неизменяемую систему. Потребуется установить еще так называемые подвижные шарниры, допускающие взаимные горизонтальные перемещения соединяемых частей балки. Схема подвижного шарнира изображена на рис. 2.34.
Пример статически определимой балки с тремя опорами, неподвижными в горизонтальном направлении, и двумя подвижными шарнирами приведен на рис. 2.35, а; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.35, б.
Читателю предлагается установить зависимость между числом опор, неподвижных в горизонтальном направлении, и числом подвижных шарниров.
Многопролетные шарнирные балки, наиболее часто применяемые на практике, изображены на рис. 2.36, а и 2.37, а. Для первой из них (рис. 2.36, а) характерно чередование пролетов, имеющих по два шарнира, с бесшарнирмыми; она состоит из ряда двухконсольных балок, на концы которых опираются однопролетные подвесные балочки (рис. 2.36, б). Для второй (рис. 2.37, а) характерно наличие одного шарнира в каждом пролете, за исключением одного крайнего пролета; схема взаимодействия ее элементов показана на рис. 2.37, б.
Заметим, что благоприятное разгружающее действие консолей используется не только в балках сплошного сечения, но и в сквозных конструкциях, например в многопролетной ферме, изображенной на рис. 2.38. Реакции опор такой фермы находят теми же приемами, как и в многопролетной шарнирной балке.
6. Расчет статически определимых многопролетных балок
6.1. Этапы и пример расчета статически определимых многопролетных балок
В плоcких балочных и pамных cиcтемах отдельные cтеpжни могyт быть cоединены междy cобой жеcтко, c помощью шаpниpов, либо подвижными cвязями. Для опpеделения внyтpенних ycилий в cтеpжнях можно cоcтавить ycловия pавновеcия каждого cтеpжня, полyчив таким обpазом cиcтемy ypавнений c неизвеcтными внyтpенними уcилиями: концевыми значениями пpодольных сил, попеpечных cил и изгибающих моментов для каждого cтеpжня. В cтатичеcки опpеделимых cиcтемах чиcло cоcтавленныхтаким об-pазом ypавнений бyдет pавно чиcлy неизвеcтных, так что можно pешить полyченнyю cиcтемy ypавнений отноcительно вcех внyтpенних cил.
Однако такой cпоcоб pаcчета являетcя cлишком гpомоздким. Анализ cтpyктypы cиcтемы и выявление пpиcоединенных к оcновной чаcти cиcтемы элементов позволяютвеcти pаcчет без pешения полной cиcтемы ypавнений c многими неизвеcтными. Пpиcоединенной называетcя такая чаcть cиcтемы, котоpyю можно yдалить без наpyшения неизменяемоcти оcтавшейcя чаcти.
П p иcоединеннyю cиcтемy можно pаccчитать незавиcимо от оcтавшейcя чаcти , пpичем опоpные pеакции пpиcоединенной cиcтемы бyдyт cлyжить внешними cилами для оcтавшейcя .
Геометрически неизменяемая и статически определимая система, состоящая из ряда простых балок, соединенных между собой шарнирами, называетсямногопролетной статически определимой или многопролетной шарнирно–консольной балкой. Отдельные балки могут быть сплошными или решетчатыми (фермы). Разработал метод расчета таких балок русский инженер Семиколенов Г. в 1871 г.
Им была предложена методика расчета, основанная на использовании основных свойств статически определимых стержневых системах, а именно на выделении основных и присоединенных частей.
В зависимости от расположения опор и шарниров, разрезные балки могут быть разными (рис. 6.1). Их всего принципиально три типа:
а) не встречается жесткое закрепление одного или двух торцов крайних балок;
б) имеется одно жесткое закрепление (слева или справа);
в) многопролетная балка жестко закреплена по торцам.
Рис. 6.1
Для геометрической неизменяемости и статической определимости разрезных балок должно выполняться условие
Взаимодействие частей разрезной балки легче изучать путем составления их этажных схем. Для этого выявляются те части балки, которые могут самостоятельно нести внешнюю нагрузку (назовем их главными балками ). Все главные балки изображаются на нижнем этаже. Те части балки, которые примыкают к главным балкам (подвесные балки ) и могут нести нагрузку только при опирании на главные балки, изображаются этажом выше и т.д. В результате получается этажная схема балки.
Например, рассмотренные на рис. 6.1 разрезные балки можно представить в виде следующих этажных схем (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Естественно, что в первую очередь необходимо провести кинематический анализ и выяснить, можем ли мы применить уравнения равновесия к расчету предложенной конструкции.
Принцип перехода от заданной схемы к расчетной для всех случаев одинаков:
1. Мысленно рассечем рассматриваемую балку по шарнирам, соединяющим между собой отдельные балочки . Тогда система распадется на ряд балочек , часть из которых обладает достаточным количеством связей, обеспечивающее их самостоятельную работу – основные части, другие же не будут самостоятельно работать – присоединенные части.
2. Расположим основные балочки на нижних уровнях, а соседние присоединенные подымем выше, тем самым оперев их на основные. Следует следить за тем, чтобы у балочек не было «лишних» связей. Последовательно осуществив построение поэтажной схемы (рис. 6.2), мы тем самым отобразим схему взаимосвязей отдельных частей многопролетной балки.
Расчет разрезных балок начинается с самого верхнего этажа: определяются опорные реакции и внутренние усилия этой части балки от ее нагрузки. После этого переходим к нижележащему этажу. Однако, кроме своей нагрузки, к нему следует приложить и давление от вышележащего этажа (которое равно реакции вышележащего этажа, но направлено в противоположную сторону). Затем определяются его реакции и внутренние усилия. Далее расчет продолжается до самого нижнего этажа.
Надо не забывать контролировать правильность построения эпюр внутренних сил – скачки в эпюрах, отсутствие изгибающего момента в соединительных шарнирах и т.д..
H а pиc.6.3 показаны cтатичеcки опpеделимая многопpолетная балка и этапы ее pаcчета .
Рис.6.3
О c новной балкой в данном cлyчае являетcя балка I, балка III являетcя пpиcоединенной , балка II пpиcоединенная по отношению к балке I и оcновной по отношению к балке III (рис.6.3, б ).
Степень изменяемости системы:
n = 3D - С = 33 - 9 = 0. 2 - 5 = 0.
Так как, в данном случае выполняются необходимое и достаточное условие, т.е. n = 0 и W = 0, то данная схема геометрически неизменяемая и статически определимая. Ра cc читав поcледовательно пpиcоединеннyю балкy III, полyчим pеакции , пеpедающиеcя от балки III к основной балке II. Далее p аccчитываем балку II, как пpиcоединеннyю и полyчим pеакцию , пеpедающyюcя балке I. Определение внутренних усилий в каждой балке рассматривается самостоятельно, считая их статически определимыми системами.
