РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
Некоторые положения теории
Понятие о силе. Распределенные и сосредоточенные силы
Сила – это мера механического действия на данное тело со стороны других тел, характеризующая величину и направление этого действия.
Действие силы на рассматриваемое тело определяется тремя факторами: точкой приложения, направлением, численным значением. В Международной системе единиц (СИ) в качестве единицы силы используется ньютон .
Совокупность сил, приложенных к телу, называют системой сил . Если систему сил можно заменить одной силой так, что при этом движение тела не изменится, то такая сила называется равнодействующей системы сил.
Силы, приложенные к какой-нибудь одной точке тела, называются сосредоточенными , а силы, действующие на некоторую часть линии, площади или объема, – распределенными.
Распределенные силы характеризуются интенсивностью q. Интенсивность силы, приложенной к линии, представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины линии. Она измеряется в ньютонах на метр – Н/м.
При решении задач статики распределенные силы, как правило, заменяют сосредоточенными равнодействующими силами.
Распределенную нагрузку с постоянной интенсивностью можно заменить сосредоточенной силой, равной произведению интенсивности на длину участка действия распределенной нагрузки () и приложенной к середине участка действия этой распределенной нагрузки (в центре тяжести параллелограмма, изображающего нагрузку, как это показано на рисунке 1.1).
Если распределенная сила изменяется по закону треугольника, то значение равнодействующей сосредоточенной силы
А ее линия действия проходит через точку пересечения медиан треугольника, изображающего закон изменения нагрузки, на расстоянии от основания (рисунок 1.2).
Механические связи и их реакции
Все силы, действующие на тела, делятся на активные и силы реакций механических связей.
Под активными понимаются силы, побуждающие тела к движению (на приведенных в этом пункте рисунках активными являются сила тяжести и сила ).
Тела, ограничивающие свободу перемещения данного тела, называются механическими связями , а силы, которыми связи действуют на рассматриваемое тело, – реакциями связей .
Рассмотрим виды механических связей, наиболее часто встречающихся на практике.
Гладкая поверхность (опора без трения). Такая связь имеет место при опирании одного тела на другое. Реакция гладкой поверхности направляется перпендикулярно касательной к поверхности, проведенной в точке контакта тел, в сторону рассматриваемого тела. На рисунке 1.3 изображены разные случаи расстановки реакции гладкой поверхности, а также показаны варианты схематичного обозначения этой связи.
Цилиндрический шарнир. Это соединение твердых тел допускает их относительное вращение. Реакция цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси цилиндрического шарнира. При решении задач, как правило, определяют не саму силу , а ее составляющие (проекции на оси координат) и (рисунок 1.4).
Невесомый стержень. Стержень, соединяющий два тела, препятствует изменению расстояния между точками соединения стержня со взаимодействующими телами. Сила реакции прямолинейного невесомого стержня направляется вдоль него (рисунок 1.5).
Гибкая нить. Ею могут моделироваться тросы, канаты, цепи и т. д. Нить способна препятствовать только тем действиям, которые пытаются ее растянуть. В случае сжатия нити она сминается и не оказывает сопротивления этому воздействию. Поэтому сила натяжения невесомой гибкой нити направляется по этой нити в сторону точки подвеса, как это показано на рисунке 1.6.
Заделка (защемление). Данная связь (например, крепление кронштейна к стене) исключает любые перемещения взаимодействующего с ней тела. При решении задач, как правило, рассчитывают составляющие силы реакции заделки и момент заделки М (рисунок 1.7).
|
|||
|
|||
Сосредоточенная сила Р, действующая на расстоянии Ь от начала координат.
Сосредоточенная сила приложена в любом сечении балки.
Расчетная схема.| Расчетная схема. Сосредоточенная сила приложена на левом конце балки.
Сосредоточенная сила, приложенная к полуплоскости (упруго-пластическая задача) / / ПММ.
Сосредоточенная сила, приложенная в точке неограниченной плоскости.
Сосредоточенная сила, приложенная в точке. Ее вводят вместо реальных сил, действующих на небольшой участок поверхности элемента конструкции, размерами которого можно пренебречь.
Сосредоточенная сила, приложенная к точке прямолинейного края пластинки.
Сосредоточенная сила, действующая на плоскость, ограничивающую гюлубесконечног тело. Представим себе, что плоскость 2 0 является гранью полубескоиечного сплошного тела и что на эту плоскость действует сосредоточенная сила Р по оси z (фиг.
Сосредоточенная сила, приложенная к полуплоскости.
Сосредоточенная сила может быть приложена внутри тела. В этом случае она представляет собой равнодействующую объемных сил, действующих на малый объем AV, а точка приложения совпадает с точкой, к которой стягивается объем ДУ при предельном переходе. Примером такой силы может быть действие магнитного поля на малый магнит, помещенный внутри немагнитного тела. Внешние силы могут быть разделены на активные и реактивные по некоторому условному признаку.
Сосредоточенная сила в углах опорного контура при испытаниях получена не была, и, таким образом, допущение А. Валя о ее существовании не подтверждается. Имеет место лишь резкое возрастание интенсивности опорной реакции у разъема. При этом чем больше жесткость опорного контура, тем больше величина максимальной опорной реакции и тем на меньшей дуге (приблизительно 5) величина реакции резко падает до минимума.
Сосредоточенная сила может быть приложена внутри тела. В этом случае она представляет собой равнодействующую объемных сил, действующих на малый объем ДУ, а точка приложения совпадает с точкой, к которой стягивается объем AV при предельном переходе. Примером такой силы может быть действие магнитного поля на малый магнит, помещенный внутри немагнитного тела. Внешние силы могут быть разделены на активные и реактивные по некоторому условному признаку.
Полуплоскость, загруженная сосредоточенной силой, действующей перпендикулярно к кромке пластины. Сосредоточенная сила, действующая на кромку изотропной полуплоскости.
Сосредоточенная сила, приложенная на границе полуплоскости.
Сосредоточенная сила, приложенная во внутренней точке пластинки.
Сосредоточенная сила Рн состоит из 60 % постоянной нагрузки и 40 % временной; равномерно распределенная нагрузка интенсивностью дн - из 40 % постоянной нагрузки и 60 % временной.
Сосредоточенная сила W условно считается приложенной на уровне верха колонны.
Фактически сосредоточенная сила обеспечивает два контрольных решения, поскольку она разлагается на две составляющие, образующие между собой прямой угол. Для получения коэффициентов 2N уравнений мы вводим N сил в JV различных точках неограниченной плоскости, но не в самой области R. За исключением этого единственного ограничения, точки N могут быть выбраны произвольно, но при этом нет гарантии, что полученная система уравнений будет хорошо обусловленной или даже линейно независимой. Последовательный подход, который, как установлено, приводит к хорошо обусловленным уравнениям, заключается в выборе N контрольных точек в серединах N отрезков контура С.
Сосредоточенная сила W приложена в средней точке участка АВ.
Сосредоточенной силе Р соответствует линейное перемещение, моменту ЭЛ - угловое, а равномерно распределенной нагрузке - площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.
Сосредоточенной силе Р соответствует линейное перемещение, моменту ЗЛ-угловое, а равномерно распределенной нагрузке-площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.
Сосредоточенной силе Р соответствует линейное перемещение, моменту М - угловое, а равномерно распределенной нагрузке - площадь эпюры перемещений на участке действия нагрузки.
Сосредоточенной силой Р называется равнодействующая поверхностных сил, распределенных по поверхности, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяются компоненты напряженного и деформированного состояний.
Сосредоточенными силами называются давления, передающиеся на элемент конструкции через площадку, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента, например давление колес подвижного состава на рельсы.
Q сосредоточенная сила, действующая вдоль оси у R - сосредоточенная сила, действующая вдоль оси г, Ь - расстояние от поверхности трещины до точек приложения сил; а - радиус дискообразной трещины; а Ь / а (а, в) - полярные координаты точки фронта трещины.
Пусть теперь сосредоточенная сила приложена не в середине пролета, а на расстоянии Ь от опоры.
Жения сосредоточенных сил или моментов мы не рассматриваем.
От сосредоточенных сил легко перейти к любой сплошной нагрувке (рис. 42), распределенной на участке тп.
От сосредоточенных сил легко перейти к сплошным нагрузкам, нужно только суммирование заменить соответствующим интегрированием.
От сосредоточенной силы легко перейти путем суммирования к системе сил или к какой угодно Сплошной переменной нагрузке.
Примерами сосредоточенных сил могут служить сила давле - ния колеса на рельс; сила, действующая со стороны резца на обра-батываемую деталь.
Понятие сосредоточенной силы является идеализацией, полезной при решении ряда задач механики сплошной среды.
Для сосредоточенной силы в центре было обнаружено явление отрыва краев плиты. Для сосредоточенной силы по краю и сосредоточенных моментов по краю отрыв плиты происходит в центральной зоне.
Воздействие сосредоточенной силы приводит, таким образом, к возникновению теплового источника в точке приложения силы. Направим теперь силу, приложенную в точке (), сначала по оси 1, затем по оси кг и, наконец, по оси хз.
Действие сосредоточенной силы р3 (ь 2) 6 (Ari) 6 (x2) в начале координат в упругом полупространстве з 0 вызывает осесимметричное относительно оси лс3 поле деформаций. Поэтому удобно эту задачу решать в цилиндрических координатах.
Приращения сосредоточенных сил, следящих за прямой, при малых отклонениях стержня от исходного состояния. Получим выражение для АР0 при малых перемещениях точек осевой линии стержня и малых углах поворота связанных осей.
Примерами сосредоточенных сил могут служить сила давления колеса на рельс; сила, действующая со стороны резца на обрабатываемую деталь.
Диапазон сосредоточенных сил, в измерении которых нуждаются различные отрасли современной науки и техники, чрезвычайно широк.
Передача сосредоточенной силы является, конечно, идеализацией и не имеет существенного практического значения. Поэтому в силоизмерительной цепи 2-го вида (рис. 1.1 6) точечная связь звеньев цепи заменена на распределенную. Только на внешних местах ввода силы она сохранена еще в виде сосредоточенной силы. В местах разделения звеньев цепи существуют контактные удельные давления.
Кроме сосредоточенных сил в точках А и В действуют сосредоточенные пары сил, перераспределяющие внешние моменты между обоими стержнями пропорционально их жесткостям. В действительности, возникновение сосредоточенных сил и пар сил в поперечных связях не возможно, так как поперечные связи всегда обладают в какой-то мере податливостью.
Панель Real Constant Set Number 1, for.
Приложение сосредоточенных сил и наружного давления - достаточно приложить сжимающие сосредоточенные усилия на свободном торце и наружное давление по всем поверхностям.
Случай сосредоточенной силы, приложенной в центре пластинки, был исследован А.
От сосредоточенных сил путем интегрирования легко перейти к сплошной нагрузке. Очевидно, q в общем случае будет некоторая функция с - расстояния от левого конца. Величина qdc будет нагрузка, приходящаяся на элемент dc изгибаемого стержня. Вставляя в общее выражение (12) вместо Р величину qdc и интегрируя по с в пределах от 0 до /, можем получить выражение для изогнутой оси стержня при любом законе распределения сплошной нагрузки.
Значение сосредоточенной силы Рс, действующей на первом участке, вычисляется с учетом сил на втором участке.
На сосредоточенную силу можно смотреть как на совокупность трех сил, каждая из которых направлена параллельно одной из координатных осей.
При сосредоточенной силе, наклоненной к оси балки, величина скачка в эпюре поперечных сил равна проекции сосредоточенной силы на нормаль к оси балки.
Плоская система сил – система сил, расположенных в одной плоскости. Система сил приводится к одной силе – главному вектору и к паре сил, момент которой равен главному моменту. Момент пары сил направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат силы. В плоских системах нет необходимости использовать векторное представление момента. Теорема Вариньона – если плоская система сил приводится к равнодействующей, то ее момент относительно какой-либо точки равен алгебраической (т.е. с учетом знака) сумме моментов всех сил относит. той же точки.
Метод определения равнодействующей плоской системы сил
Для плоской системы сил проекции главного вектора R на оси координатной системы Oxy и алгебраический главный момент LO относительно центра О определяются по формулам:
Rx = Fix; Ry = Fiy; LO = MO(Fi).
Если для данной системы сил главный вектор R 0, то эта система сил приводится к равнодействующей силе. При этом возможны два случая:
LO = 0. В этом случае система сразу приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О.
LO 0. В этом случае система сил заменяется равнодействующей R* = R, линия действия которой образуется параллельным переносом (см. рис.) линии действия силы R на расстояние d = |LO|/R, где R - модуль главного вектора R. При этом момент силы R* относительно точки О должен совпадать с моментом LO по величине и знаку.
Уравнение линии действия равнодействующей R* имеет следующий вид:
A·x + B·y + C = 0, где A = -Ry; B = Rx; C = LO.
Равнодействующая сила R* может быть приложена к любой точке твердого тела, лежащей на этой прямой.
9Сосредоточенные и распределенные силы, равнодействующая распределенной силы
Сосредоточенными считаются силы, приложенные к малой поверхности, размеры которой малы по сравнению с размерами тела. Однако при расчете напряжений вблизи зоны приложения силы нагрузку следует считать распределенной. К сосредоточенным нагрузкам относят не только сосредоточенные силы, но и пары сил, примером которых можно считать нагрузку, создаваемую гаечным ключом при закручивании гайки. Сосредоточенные усилия измеряются в кН.
Распределенные нагрузки бывают распределенными по длине и по площади. К распределенным нагрузкам относят давление жидкости, газа или другого тела. Распределенные силы измеряются, как правило, в кН/м (распределенные по длине) и кН/м2 (распределенные по площади
Например, на рисунке 1.23, а приведена равномерно распределенная по длине , измеряемая в Н/м. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой
Q = q ⋅AB [Н],
Многие технические условия характеризуют прочность фальшполов, исходя из значения допустимой распределенной нагрузки (UDL). Например, она составляет 30 кН/м2. Это означает, что ящик с весом 3000 кг, равномерно распределенным по всему объему, имеющий полностью ровную поверхность, может быть установлен на такой пол, – и пол не обрушится.
Однако в действительности нагрузки не является настолько идеальными. Обычно мебель или техническое оборудование (стойки или корпуса) располагаются на металлических опорах, снабженных снизу резиновыми прокладками. Размер такой опоры, к примеру, 25х25 мм, или отпечаток круга диаметром 30 мм.
В таком случае вес тяжелого корпуса (допустим, 1500 кг), занимающего площадь один квадратный метр, будет распределяться по четырем точкам сосредоточения нагрузки. Каждая такая точка будет нести нагрузку 1500/4=375 кг. Сосредоточенная нагрузка в этом случае равна 3,75 кН на площади 625 мм2. Эта площадь точно соответствует действующему в Европе стандарту, относящемуся к сосредоточенной нагрузке. Панель ДСП толщиной 38 мм с подложкой из алюминиевой фольги не выдержит такую точечную нагрузку. Хотя в технических характеристиках указано, что пол может выдержать распределенную нагрузку в 30 кН, фальшпол не сможет выдержать достаточно тяжелый корпус на 4 ножках.
При определении параметров фальшпола необходимо принимать во внимание и распределенную, и сосредоточенную нагрузку. Кроме того, заданная сосредоточенная нагрузка связана с прогибом панели пола в миллиметрах. Величина прогиба в некоторых случаях может иметь значение в помещениях, в которых станки или оборудования располагаются на поверхности пола. Работающее оборудование, производящее детали с заданными допусками, может требовать наличия совершенно стабильного, не прогибающегося пола. Таким образом, проектирование конструкции фальшпола не является простой задачей.
В помещениях распределительных устройств нередко существуют области, в которых величина распределенной нагрузки UDL может достигать 20-30 кН/м2, в то время как в других участках помещения установлено менее тяжелое оборудование. Стандартный пол может теоретически выдержать нагрузку около 25-30 кН/м2. Эта цифра может ввести в заблуждение неопытного специалиста при выборе такого пола для помещений с тяжелым оборудованием. Ошибка заключается в том, что способность выдерживать нагрузку применима только тогда, когда все панели расположены на своих местах. Когда одна или несколько панелей сняты, существует опасность возникновения горизонтально направленной силы, действующей на установленное на поверхности пола тяжелое оборудование, в результате которой пол начнет разрушаться, начиная с участков на которых сняты панели, но затем разрушение затронет все участки помещения (как кости домино).
Существует лишь один способ избежать такой ситуации – использовать фальшполы промышленного типа в помещениях, в которых предполагается установка тяжелого оборудования. При использовании такого фальшпола все панели могут быть сняты без влияния на поперечную устойчивость пола.
Действие нескольких сосредоточенных сил
Задача о действии одной сосредоточенной силы
Напряжения в грунтовом массиве от действия сосредоточенной силы
Фазы напряженНого состояния грунта.
Определение напряжений в массиве грунта.
Лекция № 3
Задача о действии одной сосредоточенной силы (задача Буссинеска), нескольких сил и любой распределенной нагрузки на плоское полупространство. Задача о действии местной равномерно распределенной на прямоугольной площади нагрузке (строгое решение А. Лява) и метод угловых точек. Эпюры сжимающих напряжений и влияние площади загрузки.
(задача Ж. Буссинеска)
Рассматривается действие сосредоточенной силы Р, приложенной перпендикулярно к ограничивающей полупространство плоскости. Полупространство однородно в глубину, в стороны и обладает линейной деформируемостью (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Расчетная схема действия сосредоточенной силы
Для любой точки полупространства с координатами Z, Y или b, R (к примеру М 1 и М 2) перемещения точек по направлению радиуса R равны:
; 
. (3.1)
Относительная деформация грунта на отрезке dR :
Для линейно деформируемой среды напряжение пропорционально деформации
, (3.3)
где - коэффициенты пропорциональности.
Напряжения в массиве грунта связаны с величиной силы Р условиями равновесия. Важно заметить, что для составления уравнения равновесия проведем полушаровое сечение с центром в точке приложения сосредоточенной силы (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Схема радиальных напряжений при действии сосредоточенной силы
Для выделенного элементарного шарового пояса с центральным углом db радиальное напряжение принимается постоянным.
Условие равновесия – сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю:
, (3.4)
где dF – площадь кольца полушария при увеличении угла b на величину db :
. (3.6)
После вычисления интеграла получим:
. (3.7)
Отсюда следует, что
Поставляя найденные коэффициенты пропорциональности в (3.3), получим выражение для радиального напряжения
. (3.9)
Радиальное напряжение, отнесенное к площадке параллельной ограничивающей плоскости, обозначим . Из геометрических соотношений
. (3.10)
Разложим силу на три направления z, x, y (рис. 3.3):
(3.11)
Рис. 3.3. Составляющие напряжений для площадки, параллельной
ограничивающей плоскости.
Учитывая, что
, (3.12)
получим величины составляющих напряжений для площадки, параллельной ограничивающей плоскости:
(3.13)
Вывод: компоненты напряжений для площадок, параллельных ограничивающей полупространство плоскости, не зависят от упругих постоянных однородного линейно деформируемого полупространства.
Принимая во внимание, что
(3.14)
и обозначив
, (3.15)
получим широко используемое на практике при расчете осадок фундаментов простое выражение для сжимающих напряжений :
. (3.16)
Для облегчения расчетов значения коэффициента К табулированы. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих напряжений при действии сосредоточенной силы приведены на рис 3.4.
Рис. 3.4. Эпюры сжимающих напряжений и линий равных сжимающих
напряжений при действии сосредоточенной силы
Рассмотрим действие сосредоточенной силы Q , приложенной на поверхности параллельно ограничивающей полупространство плоскости (рис. 3.5).
Сжимающие вертикальные напряжения при действии горизонтальной силы можно определить по формуле
. (3.17)
Рис. 3.5. Схема действия сосредоточенной силы Q.
Имея выражения для сжимающих напряжений при действии вертикальной и горизонтальной сил, можно найти сжимающие напряжения для наклонной силы.
Действие нескольких сосредоточенных сил - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Действие нескольких сосредоточенных сил" 2014, 2015.
